Enunciado

Consideremos as seguintes bases do R 2 : A = { 1 ,   1 ,   0 , - 1 } e B = 2 , - 3 ,   - 3 ,   5 .

a) Determinar a matriz-mudanção de base I B A .

b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A = ( 2 ,   3 ) .

c) Determinar a matriz-mudança de base de B para A .

Passo 1

O problema fornece duas bases do R 2 : A = { 1 ,   1 ,   0 , - 1 } e B = 2 , - 3 ,   - 3 ,   5 e pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre elas.

No item (a), devemos encontrar a matriz I B A que representa a mudança de A para B . Para isso, você deve lembrar que as colunas da matriz são os vetores da base A escritos na base B . Para isso, vamos proceder da seguinte forma:

1 ,   1 = a 2 , - 3 + b - 3 ,   5 = ( 2 a - 3 b ,   - 3 a + 5 b )

Assim,

2 a - 3 b = 1 - 3 a + 5 b = 1

Da primeira equação, tiramos

a = 1 + 3 b 2

Substituindo na segunda:

- 3 - 9 b 2 + 5 b = 1 ⇒ - 3 - 9 b + 10 b = 2 ⇒ b = 5 ⇒ a = 8

Portanto,

1 ,   1 = 8 ,   5 B

Essa será a primeira coluna da matriz de transformação. Analogamente,

0 , - 1 = a 2 , - 3 + b - 3 ,   5

Desta forma,

2 a - 3 b = 0 - 3 a + 5 b = - 1

Da primeira equação obtemos a = 3 b / 2 . Substituindo na segunda:

- 9 b 2 + 5 b = - 1 ⇒ - 9 b + 10 b = - 2 ⇒ b = - 2 ⇒ a = - 3

Assim,

0 , - 1 = - 3 , - 2 B

Portanto, a matriz de mudança de base será

I B A = 8 - 3 5 - 2

Passo 2

No item (b) queremos escrever o vetor v A = 2 ,   3 A na base B . Para isso, basta aplicar a matriz de mudança de base:

8 - 3 5 - 2 ⋅ 2 3 = 7 4

Portanto,

v B = 7 ,   4 B

Passo 3

Por fim, no item (c) queremos a matriz de mudança de base de B para A . Para isso, basta inverter a matriz do item (a):

I A B = I B A - 1

Vamos fazer isso usando o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

8 - 3 5 - 2 - 1 = 1 - 1 - 2 3 - 5 8 = 2 - 3 5 - 8

Portanto,

I A B = 2 - 3 5 - 8

Resposta

I B A = 8 - 3 5 - 2

v B = 7 ,   4 B

I A B = 2 - 3 5 - 8

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