Enunciado

Sejam E = ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) , F = ( f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 ) e G = g → 1 ,   g → 2 ,   g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.

a) M E F = M E G ⇒ F = G

b) M E F = M G F ⇒ E = G

c) M E F = I 3 ⇒ E = F

d) M E F = M F E ⇒ E = F

Passo 1

Bom, essa é uma questão mais chatinha de demonstração, então se você não é muito hardcore nisso, não precisa se preocupar muito que isso geralmente não cai nas provas de engenharia. Mas se mesmo assim você quer saber como faz, acompanha a resolução!

Vamos comerçar pelo item (a). A afirmativa que queremos verificar se é verdadeira ou falsa é M E F = M E G ⇒ F = G .

Vamos com calma aqui, a primeira coisa a se fazer é escrever a matriz:

M E F = M E G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Agora vamos olhar só para M E F , as colunas dessa matriz são os vetores da base F escritos em termos da base E :

f → 1 = a 11 e → 1 + a 21 e → 2 + a 31 e → 3

f → 2 = a 12 e → 1 + a 22 e → 2 + a 32 e → 3

f → 3 = a 13 e → 1 + a 23 e → 2 + a 33 e → 3

Analogamente, podemos fazer a mesma construção com M E G , que tem os mesmos coeficientes:

g → 1 = a 11 e → 1 + a 21 e → 2 + a 31 e → 3

g → 2 = a 12 e → 1 + a 22 e → 2 + a 32 e → 3

g → 3 = a 13 e → 1 + a 23 e → 2 + a 33 e → 3

Portanto, vemos que g → 1 = f → 1 , g → 2 = f → 2 e g → 3 = f → 3 . Portanto, F = G . Assim, se a matriz M E F for igual a matriz M E G , temos que F = G . A afirmação (a) é VERDADEIRA!

Passo 2

No item (b) temos a afirmativa M E F = M G F ⇒ E = G . A demonstração dessa é bem simples:

M E F = M G F ⇒ M E F - 1 = M G F - 1

Mas sabemos que M E F - 1 = M F E e M G F - 1 = M F G . Assim, temos que

M F E = M F G

Note que agora temos exatamente o que tínhamos no item (a) trocando F por E . Assim, como vimos que o item (a) é verdadeira, segue que E = G . A afirmação (b) também é VERDADEIRA!

Passo 3

No item (c) queremos ver se M E F = I 3 ⇒ E = F . Para provar essa você precisa de uma sacadinha:

I 3 = M E E

Isso é válido pois a matriz identidade é a matriz de transformação de uma base para ela mesma. Assim, temos que

M E F = M E E

Usando a propriedade do item (a) trocando G por E :

F = E

Assim, a afirmativa (c) é VERDADEIRA!

Passo 4

No item (d) temos M E F = M F E ⇒ E = F . Se M E F = M F E , temos que

M E F = M E F - 1

Assim, tomando os determinantes:

det ⁡ M E F = det ⁡ M E F - 1 = 1 det ⁡ ( M E F )

Logo,

det ⁡ M E F 2 = 1 ⇒ det ⁡ M E F = ± 1

Assim, a única condição que tiramos é que o determinante da matriz deve ser ± 1 , mas não precisamos necessariamente que E seja igual a F . É possível construir uma matriz com determinante - 1 com F ≠ E , por exemplo:

M E F = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Nesse caso, F = e → 1 ,   - e → 2 ,   e → 3 ≠ E . Portanto, a afirmativa (d) é FALSA!

Resposta

V   V   V   F

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Verificar se são bases de R 3 * os seguintes conjuntos: F , G , H ,o n d eF x , y , z = 2 x + y - z ,G x , y , z = x e H x , y , z = x - y + 4 z
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1,1 , 2 , 1,2 , 0 , 3,4 , 0d oR 3
Seja V = R 3 . Considere o sub-espaço W * de V * gerado pelos funcionais F e G dados por F x , y , z = x - y e G x , y , z = y - 2 z . Determinar uma base do seguinte sub-espaço de V : W = u ∈ V F u =