Enunciado

Consideremos as transformações lineares S e T de R 3 em R 2 definidas por S x , y , z = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z ) e T x , y , z = ( x + y - z , y - 2 z ) .

a) Determinar o núcleo da transformação linear S + T .

b) Encontrar a matriz canônica de 3 S - 4 T .

Passo 1

A questão fornece duas transformações lineares S e T . No item (a) queremos o núcleo da transformação soma S + T . Para isso, achemos primeiro a transformação soma:

S + T x , y , z = 2 x - y , 3 x - 2 y + z + ( x + y - z , y - 2 z )

Logo,

S + T x , y , z = ( 3 x - z , 3 x - y - z )

Para acharmos o núcleo, basta fazer S + T x , y , z = ( 0 ,   0 ) :

3 x - z = 0 3 x - y - z = 0

Tiramos desse sistema que y = 0 e z = 3 x . Portanto, x , y , z ∈ N ( S + T ) se e somente se

x , y , z = x ,   0 ,   3 x = x ( 1 ,   0 ,   3 )

Portanto,

N S + T = x 1 ,   0 ,   3 ,   x ∈ R = [ 1 ,   0 ,   3 ]

Passo 2

Já para o item (b), queremos a matriz de transformação para 3 S - 4 T com respeito à base canônica. Primeiro vamos achar ( 3 S - 4 T ) ( x , y , z ) :

3 S - 4 T x , y , z = 3 S x , y , z - 4 T ( x , y , z )

Portanto,

3 S - 4 T x , y , z = 6 x - 3 y , 9 x - 6 y + 3 z - ( 4 x + 4 y - 4 z , 4 y - 8 z )

Logo,

3 S - 4 T x , y , z = ( 2 x - 7 y + 4 z , 9 x - 10 y + 11 z )

Para construirmos a matriz, basta calcular a transformação dos vetores da base canônica:

3 S - 4 T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 ,   9 )

3 S - 4 T 0 ,   1 ,   0 = ( - 7 , - 10 )

3 S - 4 T 0 ,   0 ,   1 = ( 4 ,   11 )

Estes vetores são as colunas da matriz de transformação:

3 S - 4 T = 2 - 7 4 9 - 10 11

Resposta

N S + T = x 1 ,   0 ,   3 ,   x ∈ R = [ 1 ,   0 ,   3 ]

3 S - 4 T = 2 - 7 4 9 - 10 11

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