Enunciado

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

T : R 3 → R 3 é definido por

T x 1 x 2 x 3 = x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 2 x 1 + 7 x 3

e B é a base canônica de R 3 e B ' = v 1 , v 2 ,   v 3 , sendo

v 1 = 1 0 0 ,       v 2 = 1 1 0 ,       v 3 = 1 1 1

Passo 1

Vamos lembrar o Teorema 8.5.2:

Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimensão finita e B e B ' bases de V . Então:

T B ' = P - 1 T B P

Sendo P = P B ' → B e P - 1 = P B → B '

Podemos reescrever T como:

T x 1 x 2 x 3 = x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 2 x 1 + 7 x 3 = 1 2 - 1 0 - 2 0 1 0 7 x 1 x 2 x 3

Para obtermos T B , vamos lembrar que B é uma base canônica, assim:

T B = 1 2 - 1 0 - 2 0 1 0 7

Passo 2

Podemos escrever v → 1 , v → 2 e v → 3 em relação à base B como:

v → 1 = u → 1

v → 2 = u → 1 + u → 2

v → 3 = u → 1 + u → 2 + u → 3

Assim, a matriz de transição P pode ser escrita como:

P =   1 1 1 0 1 1 0 0 1

A sua inversa, P - 1 é dada por:

P - 1 = 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1

Passo 3

Agora, podemos calcular T B ' :

T B ' = 1 - 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 2 - 1 0 - 2 0 1 0 7 1 1 1 0 1 1 0 0 1

T B ' = 1 5 4 - 1 - 3 - 10 1 1 8

Resposta

T B ' = 1 5 4 - 1 - 3 - 10 1 1 8

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