Enunciado

Encontre um operador linear T :   R 3 → R 3 cujo núcleo é gerado por ( 1 ,   2 , - 1 ) e ( 1 , - 1 ,   0 ) .

Passo 1

Queremos achar uma transformação linear de R 3 em R 3 cujo núcleo seja

N T = 1 ,   2 , - 1 ,   1 , - 1 ,   0

Assim, temos que achar uma transformação T ( x , y , z ) tal que T 1 ,   2 ,   - 1 = T 1 , - 1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Antes de começar a resolver esse problema é importante dizer que a resposta não é única! Existem infinitas transformações lineares com essa propriedade.

Temos que dim ⁡ N ( T ) = 2 . Assim, vamos escolher um vetor arbitrário que não esteja no núcleo, como por exemplo ( 0 ,   0 ,   1 ) . Desta forma, B = 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 é uma base para R 3 .

O que queremos fazer é escrever um vetor genérico ( x , y , z ) como combinação linear dos vetores de B :

x , y , z = a 1,2 , - 1 + b 1 , - 1,0 + c ( 0,0 , 1 )

Assim,

a + b = x 2 a - b = y - a + c = z

Passo 2

Somando a primeira equação com a segunda:

3 a = x + y ⇒ a = x + y 3

Substituindo isso na primeira equação:

x + y 3 + b = x ⇒ x + y + 3 b = 3 x ⇒ b = 2 x - y 3

Fazendo o mesmo na última equação:

c = z + a = x + y + 3 z 3

Logo,

x , y , z = x + y 3 1,2 , - 1 + 2 x - y 3 1 , - 1,0 + x + y + 3 z 3 ( 0,0 , 1 )

Passo 3

Por fim, podemos escrever:

T x , y , z = x + y 3 T 1,2 , - 1 + 2 x - y 3 T 1 , - 1,0 + x + y + 3 z 3 T ( 0,0 , 1 )

Como T 1,2 , - 1 = T 1 , - 1,0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) , temos que

T x , y , z = x + y + 3 z 3 T ( 0,0 , 1 )

Agora basta escolher, arbitrariamente T ( 0,0 , 1 ) . Para deixar a expressão mais simples, vou escolher T 0,0 , 1 = ( 3,0 , 0 ) :

T x , y , z = ( x + y + 3 z ,   0 ,   0 )

É importanto mencionar que essa resposta não é única!

Resposta

T x , y , z = ( x + y + 3 z ,   0 ,   0 )

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