Enunciado

Dado u → ≠ 0 → , considere o conjunto A dos vetores ortogonais a u → . Prove que, quaisquer que sejam v → e w → de A , u → ∧ v → = u → ∧ w → ⇒ v → = w → (esta é uma situação muito especial, em que se pode cancelar o u → ).

Passo 1

Bom, vamos entender primeiro o que é o conjunto A . Ele é chamada de conjunto ortogonal a u → : sendo assim, todos os seus elementos são ortogonais a u → . Portanto, como v → e w estão em A , temos que

u → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 0

Queremos mostrar que nesse caso,

u → ∧ v → = u → ∧ w → ⇒ v → = w →

Para isso, note que

u → ∧ v → = u → ∧ w → ⇒ u → ∧ v → - u → ∧ w → = 0 → ⟹ u → ∧ v → - w → = 0 →

Passo 2

Da mesma forma, temos que

u → ⋅ v → - w → = 0

pois

u → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 0

No exercício 11-37 mostramos que se a → ⋅ b → = 0 e a → ∧ b → = 0 → , então a → = 0 → ou b → = 0 → . Assim, como u → ∧ v → - w → = 0 → e u → ⋅ v → - w → = 0 , temos que

u → = 0 →               o u             v → - w → = 0 →

Mas por hipótese, temos que u → ≠ 0 → . Sendo assim, a única alternativa possível é

v → - w → = 0 → ⟹ v → = w →

Resposta

Demonstração.

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