Enunciado

Dado um número inteiro positivo n > 1   qualquer, seja T :   M n n → R a transformação linear definida por T A = t r A ,   em que A é uma matriz de entradas reais. Determine a dimensão de N u c ( T ) .

Passo 1

Fala ai galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos deu uma transformação T que representa o traço de uma matriz M n n qualquer, ou seja, dada uma matriz A , teremos que:

T A = t r A

Onde o traço de uma matriz representa a soma dos elementos da diagonal principal:

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

t r A = a 11 + a 22 + a 33 + … + a n n  

Isso quer dizer que a transformação T pega uma matriz M n n e leva ela em um número real finito que é o traço da matriz, por isso temos que T : M n n → R , onde o contradomínio é toda a reta real.

E sabendo disso, o enunciado quer que a gente encontre a dimensão do N u c T .

Passo 2

Belezoca, a primeira coisa que a gente deve lembrar é do teorema fundamental do núcleo e imagem, dado como:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = k

Onde k é a dimensão do domínio da transformação. Como nossa transformação é dada como T : M n n → R , temos que o domínio será o espaço das matrizes M n n enquanto que o contradomínio será a reta real R .

Belezoca, agora como a imagem está contida no contradomínio, ou seja, a imagem está contida em R , e já que esse espaço é uma reta de dimensão 1 , então a dimensão da imagem será:

dim ⁡ I m T = 1

Então já temos que:

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = k

dim ⁡ N u c T + 1 = k

Isolando a dimensão do núcleo:

dim ⁡ N u c T = k - 1

Agora falta a gente encontrar a dimensão k   do domínio dessa função, bora lá então.

Passo 3

Show de bolinhas pessoal temos que o domínio da função é o espaço de todas as matrizes M n n com entradas reais, do tipo:

A n × n = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

Onde os elementos da matriz podem ou não ser diferentes um do outro, ou seja, eles são independentes entre si.

Isso quer dizer que pra gerar esse espaço M n n , vamos precisar de uma dimensão pra cada coordenada da matriz:

M n n = a 11 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   0 a 12 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ,   0 0 ⋯ a 1 n 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 , … ,   0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n

Logo, k será o número de elementos na base de M n n , e já que temos um elemento na base pra cada coordenada, e temos n × n coordenadas, de modo que vamos obter:

k = n × n

k = n 2

Sendo assim:

dim ⁡ N u c T = k - 1

dim ⁡ N u c T = n 2 - 1

Portanto a dimensão do núcleo da transformação T : M n n → R é dada como:

dim ⁡ N u c T = n 2 - 1

Resposta

dim ⁡ N u c T = n 2 - 1

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Dê um exemplo de uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que N ( T ) = I ( T ) .
Mostre que se A é uma matriz, m × n , de posto igual a 1 , então existem matrizes X = [ x 1. . .x n ] t e Y = [ y 1. . .y n ] t , m × 1 e n × 1 , respectivamente, tais que A = X Y t . (Sugestão: Tome
Seja A uma matriz n × n de posto 1 . Mostre que(a) A 2 = ( t r ( A ) ) A .(b) A n = ( t r ( A ) ) n - 1 A , n = 2,3 ,. . . .(Sugestão: use o exercício anterior)
Discuta como o posto de A varia com t .(a) A = ⎜1 1 t⎜⎜ ⎜ ⎜1 t 1⎜⎜ ⎜ ⎜t 1 1⎜⎜ ⎜(b) A = ⎜ t 3 - 1⎜⎜ ⎜ ⎜36 - 2 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - 1 - 3 - t⎜⎜ ⎜
Dê exemplos de transformações lineares T : R 3 → R 3 tais que(a) N ( T ) = { ( x , y , z )∈ R 3 | z = - x } ,(b) I ( T ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x = y } .