Enunciado

Dê exemplos de transformações lineares T : R 3 → R 3 tais que

(a) N ( T ) = { ( x , y , z )   ∈ R 3 | z = - x } ,

(b) I ( T ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x = y } .

Passo 1

Fala, galera! O jogo agora virou porque temos o núcleo e a imagem da transformação e precisamos dar exemplos da transformação.

Como o núcleo é N ( T ) = { ( x , y , z )   ∈ R 3 | z = - x } , então todos os vetores do tipo ( x , y , - x ) resultam em

T ( x , y , - x ) = ( 0,0 , 0 )

Os vetores do núcleo, ( x , y , - x ) , podem ser gerados por uma base de vetores ( 1,0 , - 1 ) , ( 0,1 , 0 ) . Então, para que T ( x , y , - x ) = ( 0,0 , 0 ) , precisamos ter

T ( x , y , - x ) = ( 0,0 , 0 ) ⇒ T [ x ( 1,0 , - 1 ) + y ( 0,1 , 0 ) ] = ( 0,0 , 0 )

⇒ x T ( 1,0 , - 1 ) + y T ( 0,1 , 0 ) = ( 0,0 , 0 )

Ou seja, temos que ter T ( 1,0 , - 1 ) = ( 0,0 , 0 ) e T ( 0,1 , 0 ) = ( 0,0 , 0 ) . Para terminar de definir a transformação, precisamos saber como ela atua nos vetores de base. Já temos T ( 0,1 , 0 ) = ( 0,0 , 0 ) , então faltam T ( 1,0 , 0 ) e T ( 0,0 , 1 ) e essa parte é totalmente livre, você pode escolher como quiser. Vamos escolher T ( 1,0 , 0 ) = ( 1,0 , 0 ) e T ( 0,0 , 1 ) = ( 0,0 , 1 ) . Assim, a transformação fica bem definida.

Passo 2

(b) Agora nós temos a imagem dada por I ( T ) = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x = y } , então precisamos de vetores do tipo ( x , x , z ) , que podem ser gerados pela base ( 1,1 , 0 ) , ( 0,0 , 1 ) . Nesse caso, precisamos que a transformação leve dos vetores da base canônica ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) , ou seja,

T ( 1,0 , 0 ) = ( 1,1 , 0 ) ,   T ( 0,1 , 0 ) = ( 0,0 , 1 )

Além disso, podemos escolher T ( 0,0 , 1 ) = ( 0,0 , 0 ) .

Resposta

Veja a resolução acima.

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