Enunciado

Discuta como o posto de A varia com t .

(a) A =

⎜ 1 1 t ⎜

⎜ 1 t 1 ⎜

⎜ t 1 1 ⎜

(b) A =

⎜ t 3 - 1 ⎜

⎜ 3 6 - 2 ⎜

⎜ - 1 - 3 - t ⎜

Passo 1

Fala, pessoal! Vocês lembram a definição de posto de uma matriz. Não tem problema, vamos revisar!

O posto de uma matriz é basicamente o número máximo de linhas e colunas L.I. que essa matriz possui. Vamos tentar aplicar essa definição as matrizes da questão:

(a) Nesse caso, quando t = 1 , as três linhas (colunas) da matriz são L.D. Então, só temos uma linha independente: [ 1 1 1 ] . Assim, o posto da matriz é 1 quando t = 1 . Quando t = - 2 , temos [ 1 1 - 2 ] = - [ 1 - 2 1 ] - [ - 2 1 1 ] . Então, temos dois vetores L.I. e o posto da matriz é 2 . Quando t != 1 e t != - 2 , todas as linhas (colunas) são linearmente independentes. Ou seja, o posto é 3 quando t != 1 , t != - 2 .

Passo 2

(b) Nesse caso, a linha [ t 3 - 1 ] é proporcional a [ 3 6 - 2 ] quando t = 3 // 2 , mas [ - 1 - 3 - t ] = [ - 1 - 3 - 3 // 2 ] é independente das duas quando isso ocorre. Nesse caso, o posto é igual a 2 porque temos dois vetores L.I.: [ 3 6 - 2 ] e [ - 1 - 3 - 3 // 2 ] . Então, quando t != 3 // 2 temos três vetores L.I. e o posto da matriz é 3 .

Resposta

(a)O posto da matriz é 1 quando t = 1 , 2 quando t = - 2 e 3 quando t != 1 .

(b)O posto da matriz é 2 quando t = 3 // 2 e 3 quando t != 3 // 2

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