Enunciado

Dado o triângulo A B C , sejam X o ponto que divide A , B na razão 2 e Y o ponto que divide B , C na razão 3.

  1. Exprima C X → e A Y → em função de A B → , A C → .
  2. Prove que as retas CX e AY são concorrentes e exprima o ponto de concorrência P em função de A , A B → , A C → .

Passo 1

Facilita bastante nos fazermos um simples esboço destes pontos e destas relações para questões deste tipo. Portanto, vamos ter uma ideia do que está ocorrendo:

Esse simples esboço é o suficiente para nos ajudar a montar as nossas relações! Vamos começar respondendo a letra a). Para isto, vamos exprimir C X → e A Y → em função de A B → e A C → .

A dica, para isto, é ir somando vetores, tentando sempre escrever em função de A B → e A C → , até obtemos o resultado que desejamos. Portanto,

C X → = C A → + A X →

C X → = - A C → + A X →

Percebam que já conseguimos fazer aparecer um A C → . O foco agora é transformar A X → em uma soma de A C → e A B → . Para isto, sabemos que:

A X → = 1 2 ⋅ A B →

Portanto, o vetor C X → é dado por:

C X → = - A C → + 1 2 ⋅ A B →

Pronto, agora é repetir o procedimento para o vetor A Y → ! Portanto,

A Y → = A B → + B Y →

Percebam que já conseguimos fazer aparecer um A B → . O foco agora é transformar B Y → em uma soma de A C → e A B → . Para isto, sabemos que:

B Y → = 1 3 ⋅ B C →

Portanto, temos:

A Y → = A B → + 1 3 ⋅ B C →

Ainda não resolvemos o nosso problema. Temos que escrever B C → em função de A C → e A B → . Portanto, percebam que:

B C → = B A → + A C →

B C → = - A B → + A C →

Portanto,

A Y → = A B → + 1 3 ⋅ - A B → + A C →

A Y → = A B → - 1 3 ⋅ A B → + 1 3 ⋅ A C →

A Y → = 2 3 ⋅ A B → + 1 3 ⋅ A C →

E assim finalizamos a letra a)!

Passo 2

Agora, vamos resolver a letra b).

Explicar que as retas CX e AY são simples. Primeiro, basta verificar que os vetores diretores destas retas não são paralelos, pois não existe λ pertencente aos reais tais que:

A Y → = λ C X →

Além disto, estamos no mesmo plano! Portanto, automaticamente, temos duas retas concorrentes!

OBS: retas concorrentes são retas que se cruzam em um único ponto (pertencem a um mesmo plano e vetores diretores não são paralelos).

Continuando, vamos expressa o ponto de concorrência P em função de A , A B → , A C → . Novamente, vamos fazer um desenho para nos auxiliar.

Então, vamos obter o ponto P . Sabemos que ele é resultado da soma de um ponto com um vetor. Portanto,

P = A + v →

Passo 3

E quem é v → ? Nosso trabalho agora é determina-lo. Para isto, vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos no Passo 1. Portanto,

v → = A P →

Sabemos que este vetor A P → é proporcional a A Y → . Portanto,

v → = A P → = α ⋅ A Y →

Mas também sabemos que

A P → = A C → + C P →

E que C P → = β ⋅ C X → . Portanto,

A C → + β ⋅ C X → = α ⋅ A Y →

Só que como calculamos os vetores C X → e A Y → no passo anterior, vamos substituir as suas relações aqui e desenvolver a equação. Portanto,

A C → + β ⋅ - A C → + 1 2 ⋅ A B → = α ⋅ 2 3 ⋅ A B → + 1 3 ⋅ A C →

A C → - β ⋅ A C → + β 2 A B → = 2 3 α ⋅ A B → + 1 3 α ⋅ A C →

A C → - β ⋅ A C → - 1 3 α ⋅ A C → = 2 3 α ⋅ A B → - β 2 A B →

1 - β - α 3 ⋅ A C → = 2 α 3 - β 2 ⋅ A B →

Como ambos os vetores não são paralelos, então os coeficientes que o multiplicam são, necessariamente, iguais a zero. Portanto, temos o seguinte sistema:

1 - β - α 3 = 0 2 α 3 - β 2 = 0

Resolvendo este sistema, obtemos que:

β = 4 α 3

α = 3 5

Agora, só substituir algum desses coeficientes nas nossas relações e assim obter a resposta. Portanto:

v → = A P → = 3 5 ⋅ 2 3 ⋅ A B → + 1 3 ⋅ A C →

v → = A P → = 2 5 A B → + 1 5 A C →

E o ponto P é expresso por:

P = A + v →

P = A + 2 5 A B → + 1 5 A C →

Resposta

  1. A
  2. C X → = - A C → + 1 2 ⋅ A B →

    A Y → = 2 3 ⋅ A B → + 1 3 ⋅ A C →

  3. As retas são concorrentes pois não existe λ pertencente aos reais tais que A Y → = λ C X → e também estão no mesmo plano.

O ponto P é expresso por:

P = A + 2 5 A B → + 1 5 A C →

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