Enunciado

O ponto X divide A , B na razão α , Y divide B , C na razão β e Z divide C , A na razão γ . Exprima C X → , A Y → e B Z → em função de C A → , C B → , α , β , γ .

Passo 1

Facilita bastante nos fazermos um simples esboço destes pontos e destas relações para questões deste tipo. Portanto, vamos ter uma ideia do que está ocorrendo:

Esse simples esboço é o suficiente para nos ajudar a montar as nossas relações! Queremos expressar C X → , A Y → e B Z → em função de C A → , C B → , α , β , γ . A dica, para isto, é ir somando vetores até obtemos o resultado que desejamos.

Passo 2

Bom, vamos começar pelo vetor C X → . Portanto, temos:

C X → = C A → + A X →

Percebam que já conseguimos fazer aparecer um C A → . O foco agora é transformar A X → em uma soma de C A → e C B → . Para isto, sabemos que:

A X → = α ⋅ A B →

Mas também sabemos que:

A B → = A C → + C B →

A B → = - C A → + C B →

E portanto,

A X → = α ⋅ - C A → + C B →

Substituindo esta relação na equação de C X → , temos:

C X → = C A → + A X →

C X → = C A → + α ⋅ - C A → + C B →

C X → = 1 - α ⋅ C A → + α ⋅ C B →

E assim finalizamos o nosso primeiro vetor.

Passo 3

Vamos repetir todo o procedimento só que para o vetor A Y → . Portanto,

A Y → = A C → + C Y →

A Y → = - C A → + C Y →

Percebam que já conseguimos fazer aparecer um C A → . O foco agora é transformar C Y → em uma soma de C A → e C B → . Para isto, sabemos que:

C Y → = C B → + B Y →

Mas também sabemos que:

B Y → = β ⋅ B C →

Portanto,

C Y → = C B → + β ⋅ B C →

C Y → = C B → - β ⋅ C B → = 1 - β ⋅ C B →

Substituindo esta relação na equação de A Y → , temos:

A Y → = - C A → + C Y →

A Y → = - C A → + 1 - β ⋅ C B →

E assim finalizamos o nosso segundo vetor.

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos calcular o vetor B Z → . Portanto,

B Z → = B C → + C Z →

B Z → = - C B → + C Z →

Percebam que já conseguimos fazer aparecer um C B → . O foco agora é transformar C Z → em uma soma de C A → e C B → . Para isto, sabemos que:

C Z → = γ ⋅ C A →

Portanto,

B Z → = - C B → + γ ⋅ C A →

E assim terminamos a nossa questão.

Resposta

C X → = 1 - α ⋅ C A → + α ⋅ C B →

A Y → = - C A → + 1 - β ⋅ C B →

B Z → = - C B → + γ ⋅ C A →

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