Enunciado

Os segmentos AN, BP e CM são dois a dois não paralelos. Dê uma condição necessária e suficiente sobre os vetores A N → , B P → e C M → , que não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e congruentes a A N , B P e C M .

Passo 1

Esta questão parece bem complicada, mas na real, ela é mais simples do que parece.

Temos que formar um triângulo utilizando os vetores A N → , B P → e C M → . Como eles não são paralelos dois a dois, podemos dizer que um destes triângulos é dado pela soma dos outros.

Se fizermos esta exigência, vamos conseguir um triângulo (3 lados, 3 vetores não paralelos), e com lados paralelos a A N , B P e C M .

Então, a ideia é usar soma de vetores aqui! Para finalizarmos, basta identificar quais os escalares que multiplicam cada um desses vetores.

E para respondermos à pergunta, a chave está na congruência aos segmentos A N , B P e C M . Para que haja congruência, não podemos nem aumentar nem diminuir a norma dos nossos vetores. Portanto, os únicos escalares possíveis são ± 1 .

Desta forma, uma possível relação que garante a existência deste triângulo é:

C M → = ± A N → ± B P →

OBS: percebam que tanto faz qual é o vetor resultante como também o sentido dos vetores. O importante é fechar um triângulo sendo que cada “corresponde” a cada vetor!

Resposta

C M → = ± A N → ± B P →

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