Enunciado

Dados os pontos A m ,   1 ,   0 , B m - 1 ,   2 m ,   2 e C 1 ,   3 ,   - 1 , determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A . Calcular a área do triângulo.

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, vamos esboçar um triângulo retângulo qualquer com vértices A , B e C , como indicado na questão:

Note que, pela figura, os vetores A B → e A C → formam um ângulo de 90 ° entre si, não é mesmo? Mas do que importa? No que isso implica na nossa resolução? TUDO! De acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 ° e cos ⁡ 90 ° = 0 , então temos o seguinte:

u → ∙ v → = 0

Que é exatamente o nosso caso, galera! Em outras palavras, temos que:

A B → ∙ A C → = 0

Show!

Passo 2

Para escrevermos esses vetores em termos de pontos, que é o que a questão nos fornece, basta fazermos:

B - A ∙ C - A = 0

Caso não tenha ficado claro esse último passo, uma sugestão é dar uma lida rápididinha no capítulo 1 do Winterle, beleza? Como a questão nos cede todos esses pontos, então basta substituirmos cada coisa no seu lugar e ir manipulando para ver no que chegamos, ok?

Substituindo, teremos:

m - 1 ,   2 m ,   2 - m ,   1 ,   0 ∙ 1 ,   3 ,   - 1 - m ,   1 ,   0 = 0

m - 1 - m ,   2 m - 1 ,   2 - 0 ∙ 1 - m ,   3 - 1 ,   - 1 - 0 = 0

- 1 ,   2 m - 1 ,   2 ∙ 1 - m ,   2 ,   - 1 = 0

Daooora!

Passo 3

Agora que simplificamos tudo, então finalmente temos que realizar o produto escalar, isto é, multiplicar componente por componente, saca só:

- 1 . 1 - m + 2 m - 1 . 2 + 2 . - 1 = 0

- 1 + m + 4 m - 2 - 2 = 0

5 m - 5 = 0

∴ m = 5 5 = 1

Que é o valor da incógnita que queríamos encontrar!

Passo 4

Agora que encontramos o valor de m , temos que os nossos pontos são:

A 1 ,   1 ,   0

B 0 ,   2 ,   2

C 1 ,   3 ,   - 1

A fórmula para calcularmos a área de um triângulo retângulo é:

A = b . h 2

No nosso caso a base b é o módulo do vetor A B → e a altura h é o módulo do vetor A C → . Sendo assim, calculando-os:

A B → = B - A = - 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

A C → = C - A = 0 2 + 2 2 + - 1 2 = 5

Show!

Passo 5

Agora que encontramos os módulos dos vetores, vamos substituir na equação da área que discutimos no passo anterior, saca só:

A = 6 . 5 2

Multiplicando as raízes de cima, teremos que a área será:

A = 30 2   u . a

E essa é nossa resolução, galera! 😉

Resposta

m = 1

A = 30 2   u . a

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