Sejam <u>, <v>, e <w> três vetores tais que u . v = v . w = u . w = 0 |u| = raiz(2), |v| = 2 e |w| = 2. Dados a = 2u + v - w e b = u - v, calcule |a|, |b|, a . b e |a^b|

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Os vetores u , v , w são mutuamente ortogonais, o que significa que o produto escalar entre quaisquer dois deles é zero:

u ⋅ v = v ⋅ w = u ⋅ w = 0

Os módulos (magnitudes) dos vetores são:

u = 2

v = 2

w = 2

Os vetores a e b são definidos como:

a = 2 u + v - w

b = u - v

Passo 2

A norma de a → é dada por:

a 2 = a ⋅ a

Expandindo o produto escalar e usando a propriedade distributiva:

a 2 = 4 u ⋅ u + 2 u ⋅ v - 2 u ⋅ w + 2 v ⋅ u + v ⋅ v - v ⋅ w - 2 w ⋅ u - w ⋅ v + w ⋅ w

Como os vetores são ortogonais, todos os produtos escalares mistos (como u ⋅ v ) são zero. A equação se simplifica para:

a 2 = 4 u ⋅ u + v ⋅ v + w ⋅ w

a 2 = 4 u 2 + v 2 + w 2

Substituindo os valores dados:

a 2 = 4 2 2 + 2 2 + 2 2 = 4 2 + 4 + 4 = 8 + 4 + 4 = 16

a = 4

Passo 3

Seguimos o mesmo procedimento:

b 2 = u - v ⋅ u - v

b 2 = u ⋅ u - u ⋅ v - v ⋅ u + v ⋅ v

Simplificando com a ortogonalidade:

b 2 = u 2 + v 2

Substituindo os valores:

b 2 = 2 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6

Portanto:

b = 6

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar entre a e b :

a ⋅ b = 2 u + v - w u - v

Expandindo:

a ⋅ b = 2 u ⋅ u - 2 u ⋅ v + v ⋅ u - v ⋅ v - w ⋅ u + w ⋅ v

Simplificando com a ortogonalidade:

a ⋅ b = 2 u 2 - v 2

Substituindo os valores:

a ⋅ b = 2 2 2 - 2 2 = 2 4 - 4 = 4 - 4 = 0

a ⋅ b = 0

Passo 5

A magnitude do produto vetorial é dada por a × b = a b sin ⁡ θ , onde θ é o ângulo entre os vetores a e b .

Como calculamos no passo anterior que a ⋅ b = 0 , sabemos que o ângulo θ entre eles é de 90 º . O seno de 90 º é 1 .

Portanto,

a × b = 4 6

a × b = 4 6

Resposta

a × b = 4 6

b = 6

a = 4

a ⋅ b = 0

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