Enunciado

Dados os vetores a → = ( 3 ,   4 ,   2 ) e b → = ( 2 ,   1 ,   1 ) , obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2 a → - b → e a → + b → .

Passo 1

Dados os vetores a → = ( 3 ,   4 ,   2 ) e b → = ( 2 ,   1 ,   1 ) , precisamos obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2 a → - b → e a → + b → . Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos determinar algumas componentes das expressões desejadas:

2 a → = 2 . 3 ,   4 ,   2 = 6 ,   8 ,   4

2 a → - b → = 6 ,   8 ,   4 - 2 ,   1 ,   1 = 4 ,   7 ,   3

a → + b → = 3 ,   4 ,   2 + 2 ,   1 ,   1 = ( 5 ,   5 ,   3 )

Passo 3

Assim, obtemos:

2 a → - b → × a → + b → = i → j → k → 4 7 3 5 5 3 = 6 ,   3 ,   - 15

Passo 4

Agora, calculando o módulo, temos:

c → = 2 a → - b → × ( a → + b → ) = 6 2 + 3 2 + - 15 2 = 36 + 9 + 255 = 270 = 3 30

c → = 2 a → - b → × a → + b → 2 a → - b → × a → + b → = 6 3 30 , 3 3 30 , - 15 3 30 = 2 30 , 1 30 , - 5 30

Onde c → é o nosso vetor UNITÁRIO, porém queremos um vetor de módulo 3. Logo, basta multiplicarmos o vetor c → pelo escalar 3:

3 c → = 3 2 30 , 1 30 , - 5 30 = 6 30 , 3 30 , - 1 5 30

Pronto, descobrimos o nosso vetor. 😉

Resposta

6 30 , 3 30 , - 15 30

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a) Prove que, se θ = a n gu → ,v → , então u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2 = u → 2 v → 2s e n 2 θ . Conclua que, na Definição 11-1, a condição ( b 1 ), pode ser substituída por u → ∧ v → 2 = u → 2 v → 2 - u
Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,- 3 2 , 1 2 B ,v → = 6 ,- 2 ,- 4 B e w → = 1 7 , 2 7 , 3 7 B .Calcule ( u → ∧ v → ) ∧ w → e u → ∧ ( v → ∧ w → ) diretamente e, depois, utilizando [11-12]
Prove que:a) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = - v → . w → ∧ t → u → + u → . w → ∧ t → v → b) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = u → ∧ v → . t → w → - u → ∧ v → w → t →
Prove que:a) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = v → . t → u → ∧ w → - ( v → . w → ) u → ∧ t → b) u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = u → . w → ∧ t → v → - ( u → . v → ) w → ∧ t →
Sejam u → e v → vetores ortogonais e w → = u → ∧ u → ∧ v → . Prove que u → ∧ u → ∧ w → = u → 4 v → .