Enunciado

  1. Deduza as equações da rotação de θ radianos, em sentido anti-horário, do sistema ortogonal Σ = O , e → 1 , e → 2 , e → 3 em torno de O x , e também em torno de O y (Figura 21-5).
  2. Interprete as equações x = u , y = w z = - v , como equações de rotação de um sistema ortogonal Σ = O , e → 1 , e → 2 , e → 3 em torno de um dos eixos coordenados.

Passo 1

Quando a questão pede para determinarmos a equação da rotação de θ radianos, ela está pedindo para escrevermos as coordenadas x , y , z como função das coordenadas u , v , w após uma rotação.

Para conseguirmos este sistema, basta realizarmos a seguinte multiplicação de matrizes:

x y z = M E F ⋅ u v w

Sendo M E F a matriz de mudança de base. Nosso trabalho será obtê-lo para os casos de uma rotação em torno do eixo O x e O y no sentido anti-horário. Para isto, vamos escrever os vetores da nova base ortonormal F = f → 1 , f → 2 , f → 3

Estes vetores estarão no sentido positivo dos eixos após a rotação e nós deveremos escrevê-los como combinação dos vetores da base de Σ .

Passo 2

Vamos começar fazendo uma rotação no eixo O x . Neste caso, o vetor f → 1 será igual ao próprio e → 1 , pois o eixo O x não mudará de posição.

Fazer um esboço dos novos eixos e dos novos vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 após a rotação ajuda bastante na nossa visualização.

Sendo assim, vejamos o que acontece com os vetores após a rotação:

Para escrevermos os vetores f → como combinação de vetores e → , basta decompormos os vetores f → 2 e f → 3 na direção e sentido de e → 2 e e → 3 . Se fizermos isto, iremos obter:

f → 2 = cos ⁡ θ e → 2 + sen ⁡ θ e → 3 f → 3 = - sen ⁡ θ e → 2 + cos ⁡ θ e → 3

Agora que escrevemos os vetores, já podemos obter a nossa matriz M E F . Como temos três vetores na base, nossa matriz terá 3 colunas. Como temos 3 coordenadas para cada vetor (relativas a e → 1 , e → 2 e e → 3 ), teremos 3 linhas.

Então, para escrever a matriz M E F , basta escrever, de cima para baixo, as coordenadas dos nossos vetores f → . Na primeira coluna teremos f → 1 , na segunda f → 2 e na terceira, f → 3 . Portanto:

M E F = 1 0 0 0 cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora, só fazer a multiplicação de matrizes. Portanto,

x y z = M E F ⋅ u v w

x y z = 1 0 0 0 cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ u v w

x y z = u v ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ - v ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

Então, escrevendo somente de outra forma, temos as seguintes equações para a rotação de θ radianos no sentido anti-horário do eixo O x .

x = u y = v ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ z = - v ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

Passo 3

Para a rotação no sentido anti-horário do eixo O y , iremos fazer o mesmo procedimento feito no passo anterior, a começar pelo esboço dos vetores. Portanto,

O vetor f → 2 será igual a e → 2 , pois o eixo se manteve parado.

1Agora, escreveremos os vetores f → como combinação de vetores e → . Decompondo os vetores f → 1 e f → 3 na direção e sentido de e → 1 e e → 3 . Se fizermos isto, iremos obter:

f → 1 = cos ⁡ θ e → 1 - sen ⁡ θ e → 3 f → 3 = sen ⁡ θ e → 1 + cos ⁡ θ e → 3

Agora que escrevemos os vetores, já podemos obter a nossa matriz M E F . Portanto,

M E F = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Agora, só fazer a multiplicação de matrizes. Portanto,

x y z = M E F ⋅ u v w

x y z = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ⋅ u v w

x y z = u ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ v - u ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

Então, escrevendo somente de outra forma, temos as seguintes equações para a rotação de θ radianos no sentido anti-horário do eixo O y .

x = u ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ y = v z = - u ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora, vamos analisar qual rotação as equações nos indicam.

Primeiro, como x = u , sabemos automaticamente que temos uma rotação em torno do eixo O x . Então, vamos relembrar as equações obtidas no Passo 2.

x = u y = v ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ z = - v ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

Vamos comparar as equações de y e z com as do enunciado da questão. Começando por y , temos:

y = v ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ = w

Então, sabemos que cos ⁡ θ = 0 e sen ⁡ θ = 1 . Isto só ocorre com uma rotação de θ = π / 2 no sentido anti-horário em torno do eixo O x .

Resposta

  1. Rotação em torno do eixo O x :
  2. x = u y = v ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ z = - v ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

    Rotação em torno do eixo O y :

    x = u ⋅ cos ⁡ θ + w ⋅ sen ⁡ θ y = v z = - u ⋅ sen ⁡ θ + w ⋅ cos ⁡ θ

  3. Temos uma rotação de θ = π / 2 no sentido anti-horário em torno do eixo O x .
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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(a) u 1 = 2 ,- 4 ;u 2 =3 ,8 ,w = 1 ,1 .
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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(a) u 1 = 1 ,0 ;u 2 =0 ,1 ,w = 3 ,- 7 .
Calcule a expressão dada com u = 2 ,- 2,3 ,v = 1 ,- 3 ,4 ,w = 3 ,6 ,- 4 . u + v + w u - v 3 × v - 3 × v ) u - v
Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . 3 × u - 5 × v + w 3 × u - 5 × v + w - u × v