Enunciado

Defina T : P_n -> P_n por T ( p ) = p + p ' . Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

E aí, pessoal! Confusos com essa questão? Não tem problema, vem comigo que a gente Responde Aí!

Bom, vamos começar entendendo que p é um polinômio de grau n . Assim,

p ( t ) = a_0 + a_1 t + cdots + a_n t^n

Então, a transformação linear T ( p ) = p + p ' nos dá

T ( p ) = p + p ' = a_0 + a_1 t + cdots + a_n t^n + a_1 + cdots + n a_n t^(n - 1)

T ( p ) = ( a_0 + a_1 ) + ( a_1 + 2 a_2 ) t + cdots + ( a_n - 1 + n a_n ) t^(n - 1) + a_n t^n

Antes de continuar, vamos lembrar da definição de isomorfismo. Basicamente, quando uma transformação linear é injetiva e sobrejetiva, então ela é um isomorfismo.

Passo 2

Pronto, agora temos todos os ingredientes para resolver a questão. Para que a transformação linear seja injetiva, o núcleo dela precisa ser somente o vetor nulo, N ( T ) = { overset(̄)(0) } (dá uma olhadinha no Teorema 3.7). Usando o resultado anterior, vemos que T ( p ) = 0 nos dá

a_n = 0 , a_n - 1 + n a_n = 0 => a_n - 1 = 0 , . . . , a_0 + a_1 = 0 => a_0 = 0

Ou seja, p = 0 , o que indica que o único vetor que gera o vetor nulo após a transformação é o próprio vetor nulo. Então, N ( T ) = { overset(̄)(0) } e a transformação é injetiva.

Passo 3

Agora só falta verificar se a transformação é sobrejetiva. Temos

d i m ( N ( T ) ) + d i m ( I ( T ) ) = d i m ( P_n )

Já vimos que N ( T ) = { overset(̄)(0) } , então d i m ( N ( T ) ) = 0 . Assim,

d i m ( I ( T ) ) = d i m ( P_n )

Nesse caso, vemos que se p_n é uma base para P_n , T ( p_n ) é base. Seguindo o Corolário 3.6, vemos que a transformação deve ser sobrejetiva.

Como a transformação é sobrejetiva e injetiva, então ela é um isomorfismo.

Resposta

Veja a resolução acima.

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