Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por T ( x , y , z ) = ( z , x - y , - z ) .

(a) Encontre uma base para o núcleo de T .

(b) Encontre uma base para a imagem de T .

(c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T .

Passo 1

E aí, pessoal! Um pouco confusos com essa questão?

Bom, vamos começar revisando os conceitos e respondendo aos itens um por um:

O núcleo da transformação é dado pelo conjunto N ( T ) = { X ∈ R 3 | T ( X ) = 0 ̄ } . Ou seja, quando aplicamos T a alguns vetores, às vezes temos o vetor nulo como resultado. Quando juntamos todos os vetores com essa propriedade, temos um conjunto chamado núcleo da transformação.

(a)Então, precisamos basicamente descobrir quais valores de ( x , y , z ) vão nos dar T ( x , y , z ) = ( z , x - y , - z ) = ( 0,0 , 0 ) . Nesse caso, vemos que z = 0 e x = y . Então, o núcleo da transformação é formado por todos os vetores do tipo ( x , x , 0 ) . Então, só precisamos de um vetor para essa base, que é o vetor ( 1,1 , 0 ) porque ( x , x , 0 ) = x ( 1,1 , 0 ) . Sacou?

Passo 2

A imagem da transformação é dado pelo conjunto I ( T ) = { Y ∈ R 3 | Y = T ( X ) } . Ou seja, a imagem é simplesmente o conjunto de vetores que a gente obtém depois de aplicar a transformação linear. Nesse caso, o enunciado já nos deu a resposta. Como T ( x , y , z ) = ( z , x - y , - z ) , então a imagem é formada por todos os vetores do tipo ( z , x - y , - z ) . Nesse caso, precisamos de dois vetores para gerar a imagem. Olha só:

( z , x - y , - z ) = z ( 1,0 , - 1 ) + ( x - y ) ( 0,1 , 0 )

Então, a base que gera a imagem são os vetores ( 1,0 , - 1 ) , ( 0,1 , 0 ) .

Passo 3

(c)A partir de ( 1,1 , 0 ) obtemos todos os vetores do tipo ( x , x , 0 ) , inclusive o vetor nulo ( 0,0 , 0 ) . Então, o núcleo de T representa uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor ( 1,1 , 0 ) . Podemos escrever qualquer vetor do plano gerado pelos vetores ( 1,0 , - 1 ) , ( 0,1 , 0 ) como combinação linear desses dois vetores, inclusive o vetor nulo. Então, a imagem de T representa um plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores ( 1,0 , - 1 ) , ( 0,1 , 0 ) .

Resposta

Veja a resolução acima.

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