Enunciado

Na definição de variedade linear em 14.2 . 1 , prove que v 0 ∈ A . O vetor v 0 é único? W é único? Interprete geometricamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição pra saber com quem estamos lidando.

Um subconjunto A de um espaço vetorial V é uma variedade linear de V se existe um subespaço W de V e um vetor v 0 de V tal que:

A = { v ∈ V ; v = v 0 + w ,   w ∈ W }

Passo 2

Primeira parte: provar que v 0 pertence ao conjunto A . Essa é mole! Os vetores v são os que pertencem a A , certo? Mas os v podem ser escritos como:

v = v 0 + w

Agora pega o w como o vetor nulo:

v = v 0

Opa, então como queríamos, o vetor v 0 está no conjunto A , porque ele é um dos vetores v , sacou?

Passo 3

Segunda parte: o vetor v 0 é único? Não é não, porque a gente pode escrever o vetor v 0 de várias formas de um modo que continue dando a mesma soma. Por exemplo,

v = v 0 + w ' + ( w - w ' )

Dessa forma, o “ v 0 ” seria agora v 0 + w , e por isso, estaria ele mesmo sendo variado, deu pra pegar a idéia? Por isso, ele não é único.

Passo 4

Terceira parte: o espaço W é único? Sim! Ele é o espaço onde moram as diferenças entre dois elementos quaisquer de A . Vou escrever uns vetores pra dar pra entender melhor: pega dois vetores, v 1 e v 2 de A . Eles podem ser escritos como:

v 1 = v 0 + w 1

v 2 = v 0 + w 2

A diferença entre eles é:

v 1 - v 2 = w 1 - w 2

E esse vetor, w 1 - w 2 , está em W ! Por isso, ele é o conjunto das diferenças entre dois vetores de A . Por isso, ele é único!

Passo 5

A interpretação geométrica para essa definição seria que A é a translação do conjunto W por um vetor v 0 . Tipo, a gente tem o conjunto todo, e aí a gente pega e soma o vetor v 0 a cada um deles, e desloca todo mundo. Pegou a idéia?

Resposta

v 0 não é único;

W é único;

Variação linear é a translação de W por um vetor v 0 .

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