Lista de Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Associe a cada sistema abaixo (uma letra) o problema correspondente (um número):

  1. x + y = 1 x + 2 y = 2 x + y = 3
  2. x + 2 y + 3 z = 1 x + 2 y - z = 2
  3. x + 2 y + 3 z = 1 x + y - z = 2 x - y - z = 3
  4. x + 2 y = 1 x + 3 y = 2
  1. 1,2 ∈ 1,1 , 2,3
  2. 1,2 ∈ 1,1 , 2,2 , ( 3 , - 1 )
  3. 1,2 , 3 ∈ 1,1 , 1 , 1,2 , 1
  4. 1,2 , 3 ∈ ⟨ 1,1 , 1 , 2,1 , - 1 , 3 , - 1 , - 1 〉

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Para quais valores de k o sistema linear abaixo é possível e determinado?

x + y + z = 1 3 x - y + 2 z = 3 y + k z = - 2

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Seja um sistema de equações lineares possível A x = b , tal que A ∈ M m × n ,   x ∈ M n × 1 ,   b ∈ M m × 1 .

Seja S o conjunto das soluções gerais de A x = b e S 0 do sistema homogêneo.

Prove que se x ∈ S e x 0 ∈ S 0 , então x + x 0 ∈ S .

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Determine os valores de m para que o sistema 2 x + 8 y + 2 z = 3 4 x + m 2 y + m z = 6 possua:

  1. Uma única variável livre
  2. Duas variáveis livres

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Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir.

  1. ( n o equações) = ( n o variáveis), infinitas soluções
  2. ( n o equações) < ( n o variáveis), solução única
  3. ( n o equações) > ( n o variáveis), nenhuma solução
  4. ( n o equações) > ( n o variáveis), infinitas soluções

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Determine a e b para que o sistema abaixo seja possível indeterminado.

6 x + a y = 12 4 x + 4 y = b

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Classifique o sistema a seguir.

x + y + z = 4 x + 2 y + 3 z = 8 x + 3 y + 5 z = 1 2

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Seja A m × n . Mostre que se X 1 ,   X 2 ∈ R n (representados como vetores coluna) são soluções do sistema linear homogêneo A ∙ X = 0 , então α X 1 + β X 2 tambem é solução do sistema linear homogêneo A ∙ X = 0 .

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Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo:

I - Um sistema linear com mais equações do que incógnitas nunca tem infinitas soluções

II - Um sistema linear com mais incógnitas do que equações sempre tem infinitas soluções

(a) Ambas são falsas

(b) I é verdadeira e II é falsa

(c) Ambas são verdadeiras

(d) I é falsa e II é verdadeira

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Cada representa um número diferente de 0. (Diferentes ’s podem assumir valores distintos!). O sistema que pode não ter solução é:

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Considere o problema de se encontrar dois números cuja soma seja igual a a, cuja diferença seja igual a b e tais que o triplo do primeiro mais o quíntuplo do segundo seja igual a c.

(a) Quando este problema tem solução, ela é única.

(b) Este problema nunca tem solução.

(c) Este problema sempre tem solução.

(d) Quando este problema tem solução, ela não é única.

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Determine o valor de c para que o sistema linear A x → = b → , A = 1 1 2 4 6 - 2 5 7 0 e b → = 2 10 c tenha uma única solução.

a - 8

b   7

c - 3

d   12

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Classifique as afirmativas abaixo:

I – Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua diferença e a sua soma é igual a razão entre eles.

I I – Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua soma e a sua diferença é igual a razão entre eles.

a) Ambas são verdadeiras

b) I é falsa e I I é verdadeira

c) Ambas são falsas

d) I é verdadeira e I I é falsa

e) Não sei

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As matrizes aumentadas abaixo representam, respectivamente, os sistemas lineares S 1 e S 2 :

a d g b e h c f i r s t     ,   a d b e c f r s t

Considere as afirmativas:

( I ) S 2 pode ter infinitas soluções mesmo quando S 1 tem solução única.

( I I ) S 1 pode ter infinitas soluções mesmo quando S 2 tem solução única

a) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira

b) ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa

c) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa

d) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira

e) Não sei.

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Considere o sistema S abaixo, onde os coeficientes, a ,   b ,   … ,   l ,   são números não nulos:

a x + e y + a + e z + i w = 1 b x + f y + b + f z + j w = 2 c x + g y + c + g z + k w = 3 d x + h y + d + h z + l w = 4

  1. S pode ter solução única
  2. S sempre tem solução
  1. I é verdadeira e II é falsa
  2. Ambas são falsas
  3. Ambas são verdadeiras
  4. I é falsa e II é verdadeira

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Seja o sistema linear

x     + z = a   - y + z = 1 x     + b z = 2

com a , b ∈ R . É falso afirmar que:

( a ) Se b = 1 e a ≠ 2 , o sistema não admite soluções.

( b ) Se b = 1 e a = 2 , o sistema admite infinitas soluções.

( c ) Se b ≠ 1 , o sistema admite solução única.

( d ) Se b ≠ 1 e a = 2 , o sistema não admite soluções.

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Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:

0 3 0 4 0       2 2 4 8 2       0 a 0 0 1       0 - 7 6 0 0 1 5 5 6 3

Assinale o valor de a de forma que o sistema tenha solução:

(a) 3

(b) 1

(c) 0

(d) 2

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Considere os sistemas S : A x → = b → e H :   A x → = 0 → . Verifique as afirmações abaixo:

I - Se o sistema H   tem solução, então o sistema   S tem solução

II - Se o sistema   S tem solução única, então o sistema H tem solução única

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

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Qual destas equações, se acrescentada ao sistema linear abaixo como uma terceira equação, resultará em um sistema de solução única?

x + 2 y + 3 z   = 1 x + 3 y + 2 z = 1

(a) x - 3 y + 8 z = 1

(b)   x - 2 y + 7 z = 1

(c) x - 2 y + 9 z = 1

(d)   x - y   + 6 z   = 1

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Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x + y - z = 1 x + 2 y + z = 1 2 x + 3 y + a 2 - 4 z = a

a)Determine os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções, e determine o conjunto solução.

b)Para que valores de a o sistema não tem solução?

c)O sistema acima com a = 2 tem matriz ampliada linha-equivalente à matriz ampliada do seguinte sistema?

x + y + z = 3 y + z = - 1 2 z = 2

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Sejam a , b , c e d números quaisquer. O sistema:

213 x + 217 y + a z = c 217 x + 219 y + b z = d

( a ) nunca tem solução

( b ) sempre tem várias soluções

( c ) só tem solução se a ≠ b

( d ) só tem solução se c - d + a - b ≠ 0

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Considere a matriz   1 2 0 1       2 3 3 2       0 - 1 2 1       1 1 - 1 k .

Em b) e c) considere que esta é a matriz ampliada de um sistema de equações lineares.

b) Determine para que valores de k este sistema não teria solução.

c) Para o(s) caso(s) em que o sistema é possível, determine o conjunto solução.

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Considere os seguintes sistemas lineares:

(I) Existem valores de a, b e c tais que o sistema S 1   não tem solução.

(II) Existem valores de a, b e c tais que o sistema S 2   não tem solução.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) Ambas são falsas

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(I) Um sistema linear com mais equações do que incógnitas pode ter solução única.

(II) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas pode ter solução única.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) Ambas são falsas

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Seja A uma matriz quadrada e S o sistema A x → = v → .

(I) Se existe um vetor v → tal que S não tem solução, então S nunca tem solução única.

(II) Se existe um vetor v → tal que S possui solução única, então S possui solução para todo vetor v → .

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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Considere o sistema de equações lineares abaixo. Encontre a(s) condição(ões) sobre a, b e c para que o sistema seja possível. E, neste caso, diga qual o grau de liberdade do sistema.

x + 5 z = a 2 x + y + z = b x + 2 y - 13 z = c

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O sistema

2 x + 4 y + 3 z = a 4 x + 8 y + 12 z = b 5 x + 10 y + 15 z = c

Admite solução(ões) se e somente se:

(a) a = b = c = 0

(b) 4 c = 5 b

(c) 2 a = 3 c

(d) a + 2 b = 0

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Os vetores u → , v → e w → do R 2 são as colunas da matriz aumentada de um sistema linear:

Considere as seguintes situações distintas:

(a) O sistema (I) tem solução única.

(b) O sistema (I) tem infinitas soluções.

(c) O sistema (II) tem solução única.

(d) O sistema (II) tem infinitas soluções.

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Considere o sistema:

3 x + 2 y + 5 z = 2 a x + y + 2 z = a 8 x - y + b z = - b

Faça o que se pede abaixo:

i. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha uma única solução e calcule sua solução.

ii. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha infinitas soluções e calcule suas soluções.

iii. Determine os valores de a e b para que o sistema não tenha soluções.

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Considere o sistema S representado pela matriz aumentada

onde { u → , v → } ⊂ R n é um conjunto linearmente independente. Assinale a matriz aumentada que representa um sistema equivalente a S.

(a)

(b)

(c)

(d)

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Com relação ao sistema linear S : A x → = b → ,   com b → ≠ 0 → , considere as afirmações abaixo:

(I) Se x → 1 e x → 2 são soluções de S, então x → 1 - x → 2 é solução de A x → = 0 → .

(II) Se S não admite solução, então A x → = 0 →   não admite solução.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Considere as afirmativas:

( I ) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas sempre tem solução.

( I I ) Um sistema linear com mais equações do que incógnitas nunca tem solução.

a) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira

b) ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa

c) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa

d) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira

e) Não sei.

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Seja S 1 um sistema com 5 equações e 3 variáveis e S 2 um sistema com 3 equações e 5 variáveis, ambos homogêneos. Sejam C 1 e C 2 seus respectivos conjuntos-solução. Considere as afirmativas:

( I ) Pode-se afirmar que dim ⁡ C 1 < d i m ⁡ ( C 2 )

( I I ) Pode-se afirmar que dim ⁡ C 1 > d i m ⁡ ( C 2 )

a) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa

b) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira

c) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira

d) ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa

e) Não sei.

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A matriz aumentada 0 1 1 0 1 1 0 1 2 a b c representa um sistema linear. A alternativa INCORRETA é:

a) Se o sistema admite solução, então b = a .

b) Se b ≠ a , o sistema não possui solução.

c) Se b = a , o sistema possui solução única.

d) Quaisquer que sejam a ,   b e c , o sistema não possui solução única.

e) Não sei.

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Quais são todos os possíveis valores de α e β para que o sistema linear a seguir tenha solução única?

1 3 2 - 3 - 2 - 9 - 5 6 - 1 0 4 + α 3 2 0 2 - 12 x y z w = 0 1 4 + β 2

a) α ≠ - 6 ,   β = - 5

b) α ≠ - 5 ,   β ∈ R

c) α ≠ - 6 ,   β ∈ R

d) α ≠ - 4 ,   β ≠ - 4

e) Não sei.

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Considere o sistema A x → = b → de m equações e n incógnitas.

Qual das seguintes situações não pode acontecer?

a   m = n , nenhuma solução

b   m = n , mais de uma solução

c   m < n , nenhuma solução

d   m < n , solução única

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Sejam a e b números não nulos e c e d números quaisquer. O sistema:

113 x + 111 y + a z = c 217 x + 219 y + b z = d

( a ) nunca tem solução

( b ) sempre tem várias soluções

( c ) só tem solução se a ≠ b

( d ) só tem solução se c - d + a - b ≠ 0

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Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Um sistema linear com mais equações que incógnitas sempre possui solução.
  2. Um sistema linear com menos equações que incógnitas sempre possui solução.

a   I é falsa e II é verdadeira

b   Ambas são falsas

c   Ambas são verdadeiras

d   I é verdadeira e II é falsa

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Quais das expressões abaixo representa a solução geral da equação x - 3 y - 2 z = 2 .

( a ) 7 + 3 t + 2 u , 1 + t , 1 + u

( b ) 2 + 5 t + 10 u , t + 2 u , t + 2 u

( c ) 2 + 3 t + 2 u , t , 1 + u

( d ) 7 + 3 t + 2 u , 1 + t , u

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Considere um sistema linear com m equações em n incógnitas. Pode-se afirmar que:

(a) Se m > n , a solução, se existir, será única.

(b) Se m > n , a solução, se existir, não será única.

(c) Se m < n , a solução, se existir, será única.

(d) Se m < n , a solução, se existir, não será única.

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