Enunciado

Uma máquina produz dois tipos A e B de frascos de vidro, mas não simultaneamente. Ao produzir um frasco do tipo A ela gasta 0,2 horas, e ao produzir um tipo B , gasta 0,4 horas. Sabendo que a máquina pod trabalhar no máximo 16 horas por dia e que o fabricante tem um lucro de 2   u . c . p . com um frasco tipo A e 3   u . c . p . com um frasco tipo B , quantos frascos de cada tipo devem ser produzidos para que o lucro seja máximo?

Passo 1

Aqui vamos dizer que é x a quantidade de frascos do tipo A e y os frascos do tipo B , show? E aí, o tempo gasto por cada produção de A é 0,2 x horas, e de B , 0,4 y horas. O lucro com A é de 2 x , e com B de 3 y , certo? Já temos tudo pra escrever as desigualdades:

x ≥ 0 y ≥ 0 0,2 x + 0,4 y ≤ 16

E o que a gente quer? A gente quer maximizar a função L x , y = 2 x + 3 y . Estamos juntos?

Passo 2

Beleza, já vimos como é que a gente faz isso na teoria. Bora esboçar essa região aí! Traçando a inequação da terceira linha, vamos ficar com esse gráfico:

Como a gente quer o x e o y maiores ou iguais a zero, vamos ficar só com o triângulo acima do eixo x e à direita do eixo y . Beleza, como queremos maximizar 2 x + 3 y , vamos pegar a reta que é perpendicular a essa função! Ela é dada por ( - 3 ,   2 ) , certo? Então a reta que passa pela origem e tem essa direção é:

- 3 x + 2 y = 0

Interceptando essa função com a reta da bordinha da inequação, vai ficar:

- 3 x + 2 y = 0 0,2 x + 0,4 y = 16

Substituindo a primeira na segunda:

0,2 x + 0,4 3 2 x = 16

0,8 x = 16

x = 20

E aí, com isso,

y = 3 2 20 = 30

Passo 3

Pronto, achamos os valores que dão o máximo que a gente queria! O lucro dessa produção vai ser:

L 20 ,   30 = 2 20 + 3 30

L 20 ,   30 = 130

Resposta

130   u . c . p .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A = 2 0,1 1 3 4 0 0 1 8 .Calcule A .Ao resolvermos o sistema A ⋅ x y z = 3 0 1 , podemos garantir que o processo iterativo dado por X n = M X + N onde M = I - A e N = 3 0 1 converge para uma solu
Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
A união de dois conjuntos convexos é convexa?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Ache os pontos de máximo e os pontos de mínimo da função f x , y = 7 x + 5 y + 2 definida na região determinada pelas desigualdades: 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 2 y + 6 ≥ 0 x ≥ 0 x + y - 4 ≤ 0