Enunciado

Demonstre a proposição anterior utilizando a Proposição 14-21.

Passo 1

A proposição anterior diz que dada a reta r de equações planares:

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

O vetor u → = ( m ,   n ,   p ) só é paralelo a r se:

a 1 m + b 1 n + c 1 p = 0

a 2 m + b 2 n + c 2 p = 0

Passo 2

Da proposição 14-21, sabemos que para um vetor u → = ( m ,   n ,   p ) ser paralelo a um plano a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 , temos que ter

a 1 m + b 1 n + c 1 p = 0

Se um vetor for paralelo a dois planos, ele com certeza será paralelo à reta formada pela intersecção desses dois planos, assim como se ele for paralelo à reta formada pela intersecção dos planos, ele será paralelo aos planos também.

Assim, dadas equações planares de uma reta r :

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

Para que um vetor u → = ( m ,   n ,   p ) seja paralelo a ela, ele deve ser paralelo aos dois planos dessa equação, ou seja:

a 1 m + b 1 n + c 1 p = 0

a 2 m + b 2 n + c 2 p = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado ABCD contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0 , 2,0 , determine os outros três vértices e o volume da pirâmide.
Sejam π : x + y - z = 3 e a reta r que contém os pontos A 1 ,0 ,0eB0 ,- 1 ,- 1 . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica r em relação a π .
Determine a projeção ortogonalDa origem O ( 0 ,0,0 ) sobre reta interseção dos planos π 1 : 1 ,1 ,1 + λ 1 ,0 ,1 + μ ( 0 ,1 ,1 ) e π 2 : x + y + z = 1 .
Determine a projeção ortogonalDa reta r : X + 1 = y + 2 = 3 z - 3 sobre o plano π : x - y + 2 z = 0 .
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.(c) π : x - 2 y - z = 0 r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1