Enunciado

Determine a projeção ortogonal

  1. Da reta r : X + 1 = y + 2 = 3 z - 3 sobre o plano π : x - y + 2 z = 0 .

Passo 1

Vamos continuaaar !!

De acordo com a equação do plano nós obtemos diretamente o seu vetor normal:

N → = ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Tomando dois pontos quaisquer da reta r:

P   ( - 1 ,   - 2 ,   1 )

P ' 0 ,   - 1 , 4 3

Com o vetor normal nós podemos definir as retas perpendiculares ao plano que passam pelos pontos P e P’, não é?

X = ( - 1 ,   - 2 ,   1 ) + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 )

X ' = 0 ,   - 1 , 4 3 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Agora, para determinar o ponto O e O’, que são os pontos cujas coordenadas são a projeção ortogonal sobre o plano dos pontos P e P’, basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta r que acabamos de definir.

Para a reta X:

x = - 1 + λ  

y = - 2 - λ  

z = 1 + 2 λ  

Substituindo x, y e z em função do λ na equação do plano:

  x - y + 2 z = 0

- 1 + λ - - 2 - λ + 2 1 + 2 λ = 0

- 1 + λ + 2 + λ + 2 + 4 λ = 0

6 λ - 3 = 0

λ = 1 2

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

x = - 1 - 1 2 = - 3 2

y = - 2 + 1 2 = - 3 2  

z = 1 - 2 . 1 2 = 0

Então o ponto O será - 3 2 , - 3 2 ,   0 .

Passo 2

Para a reta X’:

X ' = 0 ,   - 1 , 4 3 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Então:

x = λ  

y = - 1 - λ  

z = 4 3 + 2 λ  

Substituindo x, y e z em função do λ na equação do plano:

  x - y + 2 z = 0

λ - - 1 - λ + 2 4 3 + 2 λ = 0

λ + 1 + λ + 8 3 + 4 λ = 0

6 λ + 11 3 = 0

λ = - 1 1 18

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

x = - 11 18  

y = - 1 + 11 18 = - 7 18

z = 4 3 + 2 - 11 18 = 2 18 = 1 9

Então o ponto O’ será - 11 18 , - 7 18 , 1 9 .

Agora que temos os dois pontos a projeção da reta será a reta formada pelos pontos O e O’:

p r o j = O + t O O ' -

p r o j =   - 3 2 , - 3 2 ,   0 + t - 11 18 + 3 2 ,   - 7 18 + 3 2 , 1 9 + 0

p r o j =   - 3 2 , - 3 2 ,   0 + t 1 6 18 ,   20 18 , 1 9

Bora pra (b) ??

Resposta

p r o j =   - 3 2 , - 3 2 ,   0 + t 16 18 ,   20 18 , 1 9

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Sejam π 1 : 2 x = y ,π 2 : x = 0 ,π 3 : z = 0 e π 4 o plano determinado por r : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 1 ,2 ,- 1 ) e s : x + 1 = z + y = 1 . Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule, se
Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(c) r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) e s é paralela a O x y .
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(c) r : X = 1 ,0 ,0 + λ - 1 ,0 ,1 s : X = 0 ,0 ,1 + μ ( 2 ,1 ,1
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.(a) r : X = 1 ,2 ,2 + λ 0 ,1 ,1 s : X = 0 ,0 ,0 + μ ( 1 ,0 ,1 )