Enunciado

Demonstre o teorema 9.3 . 1 , isto é, se T : V → V um operador linear auto-adjunto, então existe uma base ortonormal de autovetores de T . (Sugestão: Faça por indução finita sobre a dimensão de V , utilizando os Exercícios 10 e 11)

Passo 1

Bom, vamos usar a sugestão dada.

Seja um espaço euclidiano de dimensão n = 1 e a transformação T fornecida. Então, do item a) do exercício 10, a gente pode garantir que essa transformação possui um auto valor complexo. Como sua dimensão é 1 , ela possui no máximo 1 auto-vetor, digamos u 1 . Veja que ele é base do espaço, pois a dimensão é 1 , para que ele seja ortonormal basta dividir u 1 por | | u 1 | | e tá resolvido.

Passo 2

Agora temos que formular nossa hipótese de indução, que será:

Um espaço euclidiano V ' de dimensão n - 1 sempre possui uma base ortonormal de autovetores de T : V ' → V ' .

Para nos ajudar nessa aventura, a gente vai usar o exercício 11, que já nos deu uma dica que como “reduzir a dimensão” do nosso espaço para usar a indução.

Passo 3

Bom, para concluir a prova temos que analisar os espaços de dimensão n usando como base a hipótese indução.

Nós vimos, no exercício 11, que v ⊥ forma um subespaço fechado para o operador linear e que ele continua sendo auto-adjunto. Isso é importante para a hipótese de indução, que exige que o domínio e a imagem sejam iguais.

Vamos provar que a dimensão de v ⊥ é n - 1 , porque ai podemos aplicar a hipótese de indução nesse subespaço.

Seja { v , u 2 , … , u n } uma base de V , onde v é um autovetor normalizado base de [ v ] , como no exercício 11. Sem perda de generalidade, vamos assumir que essa base é ortonormal, pois se não fosse, bastava aplicar Gram-Schimdt.

Passo 4

Pegue w ∈ v ⊥ . Disso, podemos escrever:

w = α 1 v + α 2 u 2 + … + α n u n

Veja que:

< w , v > = α < v , v >   = α

Já que v   e   u i são ortogonais. Veja que isso implica que u i ∈ v ⊥ , pois eles obedecem:

< v , u i >   = 0

Mas < w , v >   = 0 , então α = 0 .

Disso, temos que n - 1 vetores ortogonais e, portanto, L I , geram os vetores de v ⊥ . Assim, a dimensão de v ⊥ é n - 1 .

Passo 5

Mas nossa hipótese de indução afirma que um espaço de dimensão n - 1 possui uma base ortonormal de autovetores de T . Logo, a gente pode pegar essa base ortonormal de autovetores e substituir por { u 2 , … , u n } resultando em uma base de n autovetores ortonormais de T para o espaço de dimensão n , que é o que a gente quer.

Resposta

Demonstração.

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