Lista de Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas Compostas

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Queremos projetar um vetor em R 3 sobre o plano y = z , rotacioná-lo de 45 ° em torno do eixo z e, por fim, refletí-lo em torno do plano z = 0 . Sabe-se que as transformações que realizam essas operações são, respectivamente:

P x , y , z = 1 2 x 2 , y + z , y + z  

R x , y , z = 1 2 x - y , x + y , z 2

M x , y , z = x , y , - z

Qual das seguintes matrizes realiza as operações nas ordens pedidas?

a   S = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2   × 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

b   S = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 × 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

c   S = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 × 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

d   S = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 × 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

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Determine a matriz da T L T : R 2 → R 2 , reflexão pela origem, seguida de rotação de 45 ° no sentido trigonométrico.

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Seja T : R 2 → R 2 a rotação de 90° no sentido horário em torno da origem seguida pela projeção ortogonal sobre o eixo x. Calcule a matriz de T (em relação à base canônica).

(a) 1 0 0 0

(b) 0 1 0 0

(c) 0 0 1 0

(d) 0 0 0 1

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Qual a matriz que realiza a reflexão ortogonal dos vetores do R 3 através do plano X Z , seguida de expansão de 4 e finalizada pela rotação de 30 graus em torno do eixo Y pela regra da mão direita (sentido trigonométrico).

a   2 3 0 2 0 - 4 0 - 2 0 2 3

b   4 0 0 0 - 4 0 0 0 4

c   3 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 3 2

d   1 0 0 0 - 1 0 0 0 1

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Assinale a transformação linear, T : R 2 → R 2 , resultante da reflexão ortogonal através da reta y = 2 x seguida da reflexão ortogonal através da reta y = - 3 x :

a   T x , y = y , - x

b     T x , y = - 4 x 5 - 3 y 5 , - 3 x 5 + 4 y 5

c   T x , y = - y , x

d   T x , y = - 3 x 5 + 4 y 5 , 4 x 5 + 3 y 5

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