Enunciado

Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais, prove que A é ortogonal.

Passo 1

Essa questão fica simples se percebermos que a multiplicação de matrizes nada mais é que o produto interno convencional entre os vetores linha de uma matriz e os vetores coluna da outra matriz. Então digamos que A 1 ,   A 2 ,   … , A n são os vetores coluna da matriz que estamos analizando.

Eles são ortonormais, o que isso signigica? Simples:

< A i , A j >   = 1     s e     i = j

< A i ,   A j >   = 0   s e   i ≠ j

Passo 2

Quem são os vetores linha de A T ? Isso mesmo, A 1 ,   A 2 ,   … , A n . Poh, então quem são as entradas da matriz A T A = C ?

Você concorda que são:

c i j = < A i , A j > ?

Basta você escrever a matriz que você vai ver rapidamente.

Passo 3

Bom, do que foi dito acima, a gente conclui que a matriz produto tem as seguintes entradas:

c i j = 1     s e   i = j

c i j = 0   s e   i ≠ j

Ou seja, ela é a matriz identidade. Mas pera aí, se ela é a matriz identidade, então podemos dizer que A T = A - 1 , isto é, a matriz A é ortogonal!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre o teorema 9.3 . 1 , isto é, se T : V → V um operador linear auto-adjunto, então existe uma base ortonormal de autovetores de T . (Sugestão: Faça por indução finita sobre a dimensão de V , ut
Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma: A = cos ⁡ α - s e nα s e nα cos ⁡ α Ou da forma: B = cos ⁡ α s e nα s e nα
Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T
Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n , com produto interno , e T : V → V um operador linear auto-adjunto. Se α for uma base ortonormal de V , chamemos de A a matriz T α α . Consideremos a tra
Seja α = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de V , um espaço vetorial real com produto interno , . u α = 2 - 1 3ev α = 5 2 - 3 Se u , v = 2 , a base α é ortonormal?