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  1. Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma:
  2. A = cos ⁡ α - s e n   α s e n   α cos ⁡ α

    Ou da forma:

    B = cos ⁡ α s e n   α s e n   α - cos ⁡ α

    (Sugestão: 9.3.3 (d))

  3. Observe que se a matriz de T for da forma dada por A T será uma rotação de um ângulo α (veja 5.2.4). Mostre que B = A J onde J = 1 0 0 - 1 . ( J é a matriz em relação à base canônica de reflexão no eixo x . ) Veja 5.2.2. Conclua finalmente, usando composição de funções, que se a transformação T for dada por B , T será uma reflexão através de uma reta do plano que passa pela origem.

Passo 1

  1. Vamos calcular a imagem dos vetores da base canônica usando o item d de 9.3.3:
  2. T 1,0 = ( a , b )

    Logo:

    T 1,0 = ( 1,0 ) = a , b ⇒ 1 = a 2 + b 2

    Além disso:

    T 0,1 = ( c , d )

    Logo:

    T 0,1 = ( 0,1 ) = c , d ⇒ 1 = c 2 + d 2

    Passo 2

    Se a transformação é ortogonal, devemos ter que o produto escalar das colunas é nulo, isto é:

    a c + b d = 0

    Do passo anterior, podemos escrever:

    a = c o s   α   e   b = sen ⁡ α

    Para algum α .

    c = c o s   θ   e   d = sen ⁡ θ

    Para algum θ .

    Disso, a gente tem que:

    s e n   α   s e n   θ + cos ⁡ α cos ⁡ θ = 0

    Da trigonometria, a gente lembra que isso é:

    cos ⁡ ( α - θ ) = 0

    α = θ + 2 n - 1 π 2

    Se 2 n - 1 for 1 ,   5 ,   … então:

    c o s α = - s e n θ

    E:

    s e n   α = c o s θ

    Que gera a matriz:

    cos ⁡ α s e n α s e n   α - cos ⁡ α

    Se 2 n - 1 for 3 ,   7 , … :

    c o s α = s e n θ

    s e n α = - c o s θ

    Que gera a matriz:

    cos ⁡ α - s e n α s e n   α cos ⁡ α

    Passo 3

  3. Primeiro vamos mostrar que B = A J , onde J = 1 0 0 - 1 . Basta multiplicar as matrizes, veja:

cos ⁡ α - s e n α s e n   α cos ⁡ α 1 0 0 - 1 = cos ⁡ α s e n   α s e n   α - cos ⁡ α

Passo 2

Conforme o 5.2 . 2 , J é uma reflexão em torno do eixo x . Então podemos pensar B como sendo a composições de duas transformações:

  1. J : que reflete o vetor em relação ao eixo x;
  2. A : rotaciona o plano em torno da origem.

Ou seja: como B é dada pela multiplicação de A por J , ele nada mais é que a composição dessas duas transformações, que pode ser interpretada como a reflexação de um vetor em torno do eixo x rotacionado de α , que é uma reta que passa pela origem.

Resposta

Demonstração.

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