Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 3 → R ,     T x , y , z = - 3 x + 2 y - z

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y , z = - 3 x + 2 y - z . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b , c ) e v = ( d ,   e ,   f ) :

T u + v = T a + d , b + e ,   c + f = - 3 a - 3 d + 2 b + 2 e - c - f

Assim,

T u + v = - 3 a + 2 b - c + ( - 3 d + 2 e - f )

Mas note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) !!! Portanto,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b , λ c = - 3 λ a + 2 λ b - λ c

Colocando λ em evidência:

T λ u = λ - 3 a + 2 b - c

Como T x , y , z = - 3 x + 2 y - z , então podemos escrever

T λ u = λ - 3 a + 2 b - c = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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