Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R 2 ,     T x , y = ( x 2 + y 2 ,   x )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos T x , y = ( x 2 + y 2 ,   x ) . Como T tem termos de segundo grau, essa transformação provavelmente não vai ser linear.

Passo 2

Para verificar isso, vamos testar a segunda propriedade com u = ( a ,   b ) :

T λ u = T λ a ,   λ b = ( λ 2 a 2 + λ 2 b ,   λ a )

Colocando λ em evidência,

T λ u = λ   λ a 2 + λ b 2 ,   a ≠ λ T ( u )

Como a propriedade não é válida, T não é linear!

Resposta

Não

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