Enunciado

Descreva o lugar geométrico dos pontos do plano π que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

a) π : X = 1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   2 ,   1 + μ 2 ,   3 ,   2                   A = 1 ,   2 ,   2                     B = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Passo 1

a) Vamos primeiro encontrar a equação geral de π . O seu vetor normal é dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores:

n = ( 1 ,   2 ,   1 ) ∧ ( 2 ,   3 ,   2 )

n = ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Então, a equação do plano pode ser escrita assim olha:

π : 1 x + 0 y - 1 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) , que pertence ao plano:

1.1 + 0.0 - 1.0 + d = 0

d = - 1

Então:

π : x - z - 1 = 0

Passo 2

Queremos pontos P = ( x ,   y ,   z ) que tenham a mesma distância até A = ( 1 ,   2 ,   2 ) e B = ( 2 ,   2 ,   - 1 ) , então:

d P ,   A = d ( P ,   B )

Usando a fórmula de distância entre pontos:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 2 2 = x - 2 2 + y - 2 2 + z + 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 2 2 = x - 2 2 + y - 2 2 + z + 1 2

x - 1 2 + z - 2 2 = x - 2 2 + z + 1 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 - 2 x + 1 + z 2 - 4 z + 4 = x 2 - 4 x + 4 + z 2 + 2 z + 1

x 2 - 2 x + z 2 - 4 z + 5 = x 2 - 4 x + z 2 + 2 z + 5

2 x - 6 z = 0

x - 3 z = 0

Passo 3

Temos duas informações sobre nosso lugar geométrico: que x - z - 1 = 0 (pela equação do plano) e que x - 3 z = 0 (pela equação de distância até os pontos). Então temos o sistema

x - z - 1 = 0 x - 3 z = 0

Da segunda equação, temos que x = 3 z , substituindo na primeira:

3 z - z - 1 = 0

2 z = 1

z = 1 2

Então

x = 3 z

x = 3 2

Passo 4

O nosso lugar geométrico ( x ,   y ,   z ) , então, pode ser escrito assim:

x ,   y ,   z = 3 2 ,   y , 1 2

x ,   y ,   z = 3 2 ,   0 , 1 2 + t . ( 0 ,   1 ,   0 )

Então nosso lugar geométrico equidistante até A e B é uma reta :)

Resposta

a) x ,   y ,   z = 3 2 ,   0 , 1 2 + t . ( 0 ,   1 ,   0 )

Uma reta.

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