Enunciado

Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

d) A = 3 ,   2 ,   1                           B = 0 ,   1 ,   2                           r : x = 2 y - z = y - 2 z + 3

Passo 1

Da reta r , temos

x = 2 y - z x = y - 2 z + 3

Subtraindo as duas equações:

y + z - 3 = 0

y = - z + 3

Substituindo na primeira equação:

x = - 2 z + 6 - z

x = - 3 z + 6

Então, nossa reta pode ser escrita assim:

x ,   y ,   z = ( - 3 z + 6 ,   - z + 3 ,   z )

Substituindo z pelo parâmetro t , um ponto genérico X da reta r é dado por

X = - 3 t + 6 ,   - t + 3 ,   t

Sabendo que A B → = B - A = - 3 ,   - 1 ,   1 e A X → = X - A = - 3 t + 3 ,   - t + 1 ,   t - 1 , a área do triângulo A B X é metade da área do paralelogramo, ou seja:

A t = A B → ∧ A X → 2

Substituindo os vetores que temos:

A t = - 3 ,   - 1 ,   1 ∧ - 3 t + 3 ,   - t + 1 ,   t - 1 2

A t = ( 0 ,   0 ,   0 ) 2

Calculando o módulo do vetor:

A t = 0 2

A t = 0

Passo 2

Opa, chegamos que a área do nosso triângulo sempre vai ser 0 :O Por que isso acontece??

A reta formada pelo vetor A B → e a reta r são coincidentes, ou seja, elas são a mesma reta!!

Então A B X não é um triângulo e sim 3 pontos colineares sacou??

Resposta

Não existe X , pois A B → e r são coincidentes.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos P 1 , - 1 , 0 r : x = 2 - t y = 0 z = t
Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos P 3,2 , 1 r : y = 2 x z = x + 3
Calcule a distância do ponto P à reta r .c) P = 1 , - 1,4 , r : x - 2 4 = y - 3 = 1 - z 2
Determine as coordenadas do simétrico ao ponto P = ( 2 , - 3 ) em relação a:a.Ao eixo OX;b.Ao eixo OY;c.À diagonal ∆ d.Ao ponto (-3,2).
Mostre que a equação da tangente à circunferência A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0 no ponto x 1 , y 1éa x - x 1 + b y - y 1 = 0 é , onde a = x 1 + D 2 Aeb = x 2 + E 2 A