Enunciado

Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

c) A = 2 ,   0 ,   0                           B = 3 ,   1 ,   0                           r : X = 3 ,   1 ,   8 + λ ( 1 ,   1 ,   2 )

Passo 1

Um ponto genérico X da reta r é dado por

X = 3 + λ ,   1 + λ ,   8 + 2 λ

Sabendo que A B → = B - A = 1 ,   1 ,   0 e A X → = X - A = λ + 1 ,   λ + 1 ,   2 λ + 8 , a área do triângulo A B X é metade da área do paralelogramo, ou seja:

A t = A B → ∧ A X → 2

Substituindo os vetores que temos:

A t = 1 ,   1 ,   0 ∧ λ + 1 ,   λ + 1 ,   2 λ + 8 2

A t = ( 2 λ + 8 ,   - 2 λ - 8 ,   0 ) 2

Calculando o módulo do vetor:

A t = 2 λ + 8 2 + ( - 2 λ - 8 ) ² 2

A t = 8 λ 2 + 64 λ + 128 2

A t = 8 . λ + 2 2 2

A t = 2 2 . ( λ + 2 ) 2

A t = 2 . ( λ + 2 )

Passo 2

Sabendo que a área do triângulo A B X é dada por A t = 2 . ( λ + 2 )

Temos que encontrar os valores de λ que fazem essa expressão ser a menor possível, para aí encontrarmos o X tal que a área seja a menor.

Mas veja só, a nossa área tem a expressão de uma reta λ + 2 , então não é possível acharmos o seu ponto mínimo.

O que isso quer dizer??

As retas r e A B são concorrentes em P = ( - 1 ,   - 3 ,   0 ) , e aí quanto mais perto X chega de P (existem infinitos pontos para isso), menor é a nossa área.

Resposta

Não existe X , pois A B → e r são concorrentes.

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A diagonal B D de um quadrado está contida em r : x - 1 = y - z = 0 . Sendo O um dos vértices, determine os outros três.
Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do ponto P = ( 1 ,2 ,1 ) , é concorrente com s : X = - 1 ,1 ,1 + λ ( 0 ,- 1 ,2 ) e paralela a t : 2 x - z - 1 = y = 2 .
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ que equidistam de r : x = y = z ,s : x - z = y = 0 e A = 1 ,0 ,1 é a reunião de duas retas paralelas, e obtenha equações dessas retas.
Deduza a fórmula abaixo: d P , r = A P → ∧ r → r → (a) raciocinando assim: se v → = proj r → ⁡ A P → , então A P → - v → = d P , r (recorde a condição (b) da Definição 9-12);(b) aplicando o Teorema de
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.