Enunciado

Determinar o ângulo que a reta que passa por A = ( 3 , - 1,4 ) E B = ( 1,3 , 2 ) forma com a sua projeção sobre o plano x y .

Passo 1

Para calcular o ângulo formado pela reta e por sua projeção, devemos utilizar o vetor diretor da reta e da projeção.

Calculo do vetor diretor da reta

Com os pontos dados podemos encontrar o vetor diretor da reta.

u → = A B → = B → - A → = 1,3 , 2 - 3 , - 1,4 = - 2,4 , - 2

u → = ( - 2,4 , - 2 )

A equação vetorial é

x , y , z = 3 , - 1,4 + ( - 2,4 , - 2 ) t

Podemos então escrever as equação paramétrias.

x = 3 - 2 t y = - 1 + 4 t z = 4 - 2 t

Calculo do vetor diretor da projeção

Como a projeção acontece no plano x O y devemos consider a terceira equação nula. Sendo assim:

x = 3 - 2 t y = - 1 + 4 t z = 0

O vetor diretor das equação paramétricas é:

w → = ( - 2,4 , 0 )

Passo 2

A equação para encontrar o ângulo é

cos ⁡ θ = u → . w → u → . w →

cos ⁡ θ = ( - 2,4 , - 2 ) x - 2,4 , 0 - 2,4 , - 2 . - 2,4 , 0

cos ⁡ θ = | 4 + 16 | 4 + 16 + 4 4 + 16

cos ⁡ θ = 20 2 4 20

cos ⁡ θ = 20 2 6 2 5

cos ⁡ θ = 20 4 6 5

cos ⁡ θ = 5 6 5

cos ⁡ θ = 5 30

cos ⁡ θ = 30 6

Sendo assim o ângulo formado entre a reta e a projeção é θ = a r c o s 30 6

Resposta

Sendo assim o ângulo formado entre a reta e a projeção é θ = a r c o s 30 6

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