Enunciado

Determinar uma equação geral do plano que passa pelos pontos A ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( - 1 ,   2,1 ) e é paralelo à reta

r : x 2 = z - 3 ; y = 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir de um vetor dos pontos A e B (assim o plano vai obrigatoriamente conter esses dois pontos) fazer um produto vetorial entre esse vetor e o vetor diretor da reta dada. Assim teremos um vetor normal ao plano que é paralelo à reta dada e, juntando com um dos pontos dados, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo vetor A B → :

A B → = B - A = - 1,2 , 1 - - 3,1 , - 2 = ( 2,1 , 3 )

E agora o vetor diretor da reta. Temos que y = 4 , e temos que x 2 = z - 3 , então dizendo que x = t , a equação paramétrica dessa reta fica assim:

x = t y = 4 z = - 3 2 t

E um vetor diretor dessa reta é v → = 1,0 , - 3 2 .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

A B → × v → = i ^ j ^ k ^ 2 1 3 1 0 - 3 2 = i → - 3 2 + 0 + j → 3 + 3 + k → ( 0 - 1 )

= - 3 2 ,   6 , - 1

Passo 3

Agora juntando o vetor normal - 3 2 ,   6 , - 1 com o ponto A - 3,1 , - 2 (poderia usar o ponto B também, sem problemas), podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 3 2 x + 3 + 6 y - 1 - 1 z + 2 = 0

- 3 2 x - 9 2 + 6 y - 6 - z - 2 = 0 ,   ( × 2 )

- 3 x - 9 + 12 y - 12 - 2 z - 4 = 0

- 3 x + 12 y - 2 z - 25 = 0 ,   ( × - 1 )

3 x - 12 y + 2 z + 25 = 0

Assim a equação do plano é 3 x - 12 y + 2 z + 25 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x - 12 y + 2 z + 25 = 0

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