Enunciado

O plano contém o ponto A ( 4 ,   1 ,   1 ) e é perpendicular aos planos π 1 :   2 x   +   y   -   3 z   =   0 e π 2 :   x   +   y   -   2 z   -   3   =   0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir dos vetores normais aos dois planos dados fazer um produto vetorial entre eles e obter um vetor normal ao plano que queremos equacionar que é perpendicular simultaneamente aos dois planos dados. Juntando com o ponto dado, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando o vetor normal ao plano π 1 . A equação do plano dado é 2 x + y - 3 z = 0 e um vetor normal a ele é v → = ( 2,1 , - 3 ) . Agora o vetor normal ao plano π 2 . A equação dele é dada por x   +   y   -   2 z   -   3   =   0 e um vetor normal é u → = 1,1 , - 2 .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 1 - 3 1 1 - 2 = i → - 2 + 3 + j → - 3 + 4 + k → ( 2 - 1 )

= 1,1 , 1

Passo 3

Agora juntando o vetor normal 1 , 1,1 com o ponto A ( 4 ,   1 ,   1 ) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 4 + 1 y - 1 + 1 z - 1 = 0

1 x - 4 + 1 y - 1 + 1 z - 1 = 0

x + y + z - 6 = 0

Assim a equação do plano é x + y + z - 6 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y + z - 6 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo x = 1 + h - 2 t y = 1 - t z = 4 + 2 h - 2 t Equações paramétricas de um plano π , obter uma equação geral.
Determinar uma equação geral do plano que passa pelos pontos A ( - 3 ,1 ,- 2 ) e B ( - 1 ,2,1 ) e é paralelo à reta r : x 2 = z - 3 ; y = 4
Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:9) A 2,0 , - 1 , B - 2,6 , 3 ,C ( 0,3 , 4 ) .
Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:10) A 2,1 , 0 , B - 4 , - 2 , - 1 ,C ( 0,0 , 1 ) .
Determinar uma equação geral do plano que contém os pontos A ( 1 ,- 2 ,2 ) e B ( - 3 ,1 ,- 2 ) e é perpendicular ao plano π : 2 x + y - z + 8 = 0 .