Enunciado

Determinar uma equação geral do plano que contém os pontos A ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e B ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) e é perpendicular ao plano π : 2 x + y - z + 8 = 0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir de um vetor dos pontos A e B (assim o plano vai obrigatoriamente conter esses dois pontos) fazer um produto vetorial entre esse vetor e o vetor normal ao plano π dado. Assim teremos um vetor normal ao plano que queremos equacionar que é perpendicular ao plano π e, juntando com um dos pontos dados, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo vetor A B → :

A B → = B - A = - 3 ,   1 ,   - 2 - 1 ,   - 2 ,   2 = ( - 4,3 , - 4 )

E agora o vetor normal ao plano π . A equação desse plano é 2 x + y - z + 8 = 0 , e um vetor normal desse plano é v → = 2,1 , - 1 .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

A B → × v → = i ^ j ^ k ^ - 4 3 - 4 2 1 - 1 = i → - 3 + 4 + j → - 8 - 4 + k → ( - 4 - 6 )

= 1 , - 12 , - 10

Passo 3

Agora juntando o vetor normal 1 , - 12 , - 10 com o ponto A 1 ,   - 2 ,   2 (poderia usar o ponto B também, sem problemas), podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 - 12 y + 2 - 1 0 z - 2 = 0

x - 1 - 12 y - 24 - 10 z + 20 = 0

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

Assim a equação do plano é x - 12 y - 10 z - 5 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

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