Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Centro C 5,1 , um foco F 9,1 e eixo imaginário medindo 4 2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O x , pois os pontos tem o valor y constante igual a 1 , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é C 5,1 e um dos focos é F 9,1 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre o centro e o foco é igual a c , vamos achar c :

c = 9 - 5 → c = 4

E também temos que como o eixo imaginário é o segmento B 1 B 2 e como ele mede 4 2 , podemos encontrar o valor de b :

2 b = 4 2 → b = 2 2

Passo 3

Precisamos agora encontrar a , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 4 2 = a 2 + 2 2 2 → 16 = a 2 + 4 ⋅ 2 → 16 = a 2 + 8 → a 2 = 8 → a = 8

Vamos também encontrar os vértices e o outro foco para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de 8 , temos então que as coordenadas x deles são:

5 + 8

5 - 8

E a y é constante e igual a 1 , assim os vértices são A 1 5 + 8 , 1 e A 2 5 - 8 , 1 .

Para achar o outro foco como temos que a distância do centro aos focos é de 4 , temos então que a coordenada x dele é:

5 - 4 = 1

E a y é constante e igual a 1 , assim o outro foco é F 2 1,1 .

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 5,1 , a = 8 e b = 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 5 2 8 2 - y - 1 2 8 2 = 1 →

→ x 2 - 10 x + 25 8 - y 2 - 2 y + 1 8 = 1 → x 2 - 10 x + 25 - y 2 - 2 y + 1 = 8 →

→ x 2 - 10 x + 25 - y 2 + 2 y - 1 = 8 → x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 24 = 8 →

→ x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 24 - 8 = 0 → x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0 :

Resposta

x 2 - y 2 - 10 x + 2 y + 16 = 0

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