Enunciado

Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.

  1. O centro C ( 0 , - 4,3 ) e tangente ao plano π : x + 2 y - 2 z - 2 = 0 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos o centro C ( 0 , - 4,3 ) e sabemos que essa esfera é tangente ao plano π . Isso significa que a distância do centro até o plano é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: aplicar a fórmula da distância do ponto ao plano para determinar o raio. Com o centro e r nas mãos, substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis e reorganizar os termos =D

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro a distância entre C ( 0 , - 4,3 ) e o plano π : x + 2 y - 2 z - 2 = 0 . Como recordar é viver, vamos relembrar como se calcula a distância entre um ponto e um plano, beleza?

Seja um plano cuja equação geral é a x + b y + c z + d = 0 . E seja um ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) que não pertença a esse plano. A distância D desse ponto até o plano é dado por:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso temos:

a = 1 ; b = 2 ; c = - 2 ,   d = - 2

x 0 = 0 ; y 0 = - 4 ; z 0 = 3

Então agora é só substituir:

D = | 1.0 + 2 . - 4 + - 2 . 3 + ( - 2 ) | ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( - 2 ) 2

D = | 0 - 8 - 6 - 2 | 1 + 4 + 4

D = | - 16 | 9 = 16 3

Ok! Então temos que o raio dessa superfície esférica é 16 / 3 . Tranquilo até aqui? Então agora vamos juntar esse resultado com o ponto dado, vamos lá?

Passo 3

Resgatando o centro C h , k , l = C ( 0 , - 4,3 ) do enunciado e o raio r = 16 / 3 , podemos substituir na equação geral.

Resgatando lá do passo 1 a equação geral temos:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Agora é só substituir:

x - 0 2 + y + 4 2 + z - 3 2 = 16 3 2

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

x 2 + y 2 + 8 y + 16 + z 2 - 6 z + 9 - 256 9 = 0

x 2 + y 2 + z 2 + 8 y - 6 z - 31 9 = 0   ( × 9 )

9 x 2 + 9 y 2 + 9 z 2 + 72 y - 54 z - 31 = 0

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é 9 x 2 + 9 y 2 + 9 z 2 + 72 y - 54 z - 31 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

9 x 2 + 9 y 2 + 9 z 2 + 72 y - 54 z - 31 = 0

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