Enunciado

Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos:

  1. P = 3 , - 1 , - 2 , Q = 1,1 , - 2 e R = - 1,3 , 0 .
  2. P , Q e R são os pontos de interseção do plano π : 3 x + 2 y + 6 z = 6 com os eixos coordenados.

Passo 1

Bom, queremos determinar a equação de uma circunferência circunscrita a um triângulo P Q R . Isto é, uma circunferência que contêm os três vértices do triângulo.

Então, se queremos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: a equação de um plano que contém o triângulo e a equação de uma superfície esférica cujo centro é equidistante aos 3 vértices do triângulo.

Se conseguirmos obter as duas equações, obtemos a nossa circunferência.

O legal deste caso é que nós já temos o plano π ! Um trabalho a menos né? Mas.... como tudo não são flores, para compensar, não temos os pontos P , Q e R . Precisamos descobri-los primeiramente então.

Passo 2

Vamos começar descobrindo quais sãos os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Começaremos pelo eixo O x . Substituindo P = x , 0,0 na equação do plano, temos:

3 x = 6

x = 2

Portanto, temos o ponto P = 2,0 , 0 . Em relação a O y , vamos substituir Q = 0 , y , 0 . Logo,

2 y = 6

y = 3

Portanto, temos o ponto Q = 0,3 , 0 . Por fim, em relação a O z , vamos substituir R = 0,0 , z . Logo,

6 z = 6

z = 1

Então, R = 0,0 , 1 .

Passo 3

Agora vamos para a parte um pouco mais complicada: encontrar a superfície esférica.

Neste caso aqui, existem infinitas soluções. Basta fixar o critério de equidistância dos pontos.

Então, vamos fazer o seguinte. Vamos construir uma superfície esférica centrada no centro da circunferência que queremos obter e cujo raio é exatamente o raio da circunferência!

Ao sairmos do espaço pro plano, facilitamos as contas!

Portanto, vamos descobrir as coordenadas de um ponto C = x , y , z que pertencem a π . Portanto, satisfaz a equação do plano e temos:

3 x + 2 y + 6 z = 6

y = 6 - 3 x - 6 z 2

Logo, o ponto C tem coordenadas C = x , 6 - 3 x - 6 z 2 , z . Agora, vamos descobrir os valores de x e z que são equidistantes de P , Q e R . Portanto,

d C , P = d C , Q = d C , R ⟹ d C , P = d C , Q d C , P = d C , R ⟹ d C , P 2 = d C , Q 2 d C , P 2 = d C , R 2

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 - 3 2 + z 2 2 x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z - 1 2 2

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 - 3 2 + z 2 x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z - 1 2

Vamos agora resolver a nossa segunda equação do sistema. Logo,

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z - 1 2

x - 2 2 + z 2 = x 2 + z - 1 2

x 2 - 4 x + 4 + z 2 = x 2 + z 2 - 2 z + 1

- 4 x + 4 = - 2 z + 1

z = 4 x - 3 2

Portanto, já sabemos que o nosso ponto C é

C = x , 6 - 3 x - 6 z 2 , z = x , 6 - 3 x - 6 4 x - 3 2 2 , 4 x - 3 2 = x , 15 - 15 x 2 , 4 x - 3 2

Para descobrirmos quem é x , vamos substituir o valor de z = 4 x - 3 2 na primeira equação do nosso sistema. Portanto,

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 + z 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 - 3 2 + z 2

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 z 2 - 3 2

x - 2 2 + 6 - 3 x - 6 4 x - 3 2 2 2 = x 2 + 6 - 3 x - 6 4 x - 3 2 2 - 3 2

x - 2 2 + 15 - 15 x 2 2 = x 2 + 9 - 15 x 2 2

x 2 - 4 x + 4 + 225 - 450 x + 225 x 2 4 = x 2 + 81 - 270 x + 225 x 2 4

- 4 x + 4 + 225 - 450 x 4 = 81 - 270 x 4

- 49 x = - 40

x = 40 49

Portanto, o centro da circunferência será:

C = x , 15 - 15 x 2 , 4 x - 3 2 = 40 49 , 15 - 15 ⋅ 40 49 2 , 4 ⋅ 40 49 - 3 2

C = 40 49 , 1 35 98 , 13 98

Passo 4

Quase acabando! Já temos o centro da superfície esférica. Só nos falta seu raio.

O raio da superfície será o raio da circunferência. Portanto, nada mais é que:

ρ = σ = d C , P = d C , Q = d C , R

ρ = d C , P = 40 49 - 2 2 + 135 98 2 + 13 98 2

ρ = - 58 49 2 + 135 98 2 + 13 98 2

ρ = 31850 9604 325 ⋅ 98 98 ⋅ 98 = 325 98

Portanto, a superfície será:

S : x - 40 49 2 + y - 135 98 2 + z - 13 98 2 = 325 98

E a equação da circunferência será:

Γ : x - 40 49 2 + y - 135 98 2 + z - 13 98 2 = 325 98 3 x + 2 y + 6 z = 6

Resposta

Γ : x - 40 49 2 + y - 135 98 2 + z - 13 98 2 = 325 98 3 x + 2 y + 6 z = 6

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Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .
Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9= 0 e o plano x+ y + z - 1 = 0 ,determine a posição relativa da superfície e o plano;se o plano for:externo, calcule a distância do centro ao plano;
Ache o centro e o raio da circunferência x 2+y 2+ z 2- 2 x+ 4 y - 4=0 ⎨ x- 2 y+ z+ 1 = 0⎨
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4= 0 e S 2 :x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.
Pelos pontos de interseção da reta X=( - 5 , - 11,9 )+ t ( 3,5 , - 4 ) e da superfície esférica ( x + 2 ) 2+( y - 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2= 49 passam planos tangentes à superfície esférica. Determine uma e