Enunciado

Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e B ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e verificar se os pontos C 5 2 , - 4,5 e D ( - 1 ,   3 ,   4 ) pertencem a r .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

A equação vetorial de uma reta é:

r : x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + ( a , b , c ) t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta.

Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. E o ponto? Bom, vou usar o ponto A (aqui eu também poderia ter usado o ponto B se problema algum, basta esse ponto pertencer à reta, ok?).

Passo 2

Para achar o vetor, podemos ter um que vá do ponto A até o ponto B , então esse vetor, que vou chamar de v → é:

v → = B - A = 1 , - 1,2 - ( 2 ,   - 3 ,   4 )

v → = ( - 1,2 , - 2 )

Passo 3

Juntando o ponto A ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e o vetor v → = ( - 1,2 , - 2 ) , podemos escrever a equação vetorial da reta:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + ( a , b , c ) t

x , y , z = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

Passo 4

Para verificar se os pontos C e D pertencem a essa reta, precisamos substituir essas coordenadas no lado direito da equação vetorial da reta e resolver o sistema de três equações. Teremos apenas uma variável, o parâmetro t , e ele deve ter o mesmo valor em todas as equações.

Vamos começar com o ponto C 5 2 , - 4,5 . Usando a equação vetorial que achamos no passo anterior temos:

x , y , z = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

E substituindo o ponto C temos:

5 2 , - 4,5 = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

Assim ficamos com três equações:

5 2 = 2 - t - 4 = - 3 + 2 t 5 = 4 - 2 t

Na primeira equação temos:

t = 2 - 5 2 = - 1 2

Agora a segunda:

- 4 + 3 = 2 t

- 1 = 2 t ∴ t = - 1 2

Até então esse ponto está pertencendo à reta. Vamos à terceira reta:

5 - 4 = - 2 t

1 = - 2 t

t = - 1 2

Oba! Esse ponto pertence à reta =).

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo procedimento para o ponto D . Partindo da reta:

x , y , z = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

Substituindo o ponto D - 1 ,   3 ,   4 :

- 1 ,   3 ,   4 = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

Assim ficamos com três equações:

- 1 = 2 - t 3 = - 3 + 2 t 4 = 4 - 2 t

Agora vamos pegar a primeira equação:

t = 2 + 1 = 3

Agora a segunda:

3 + 3 = 2 t ∴ 6 = 2 t ∴ t = 3

E a última:

4 - 4 = - 2 t

0 = - 2 t

t = 0

Poxa vida, na última coordenada o parâmetro t falhou! E assim, se falhou em uma, esse ponto já não pertence à reta!

Então o ponto D não pertence à reta.

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x , y , z = 2 ,   - 3 ,   4 + ( - 1,2 , - 2 ) t

C   p e r t e n c e   à   r e t a

D   n ã o   p e r t e n c e   à   r e t a

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