Enunciado

Determinar as equações reduzidas, em termos de x , da reta r que passa pelo ponto A ( 2 ,   - 1 ,   4 ) e é perpendicular ao plano π : x - 3 y + 2 z - 1 = 0

Passo 1

O enunciado fala de uma reta que passa passa por um ponto A e é perpendicular ao plano π . Assim, o vetor diretor dessa reta será o vetor normal ao plano.

Passo 2

Para acharmos as coordenadas da normal, vamos analisar a equação do plano.

π : x - 3 y + 2 z - 1 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 1 ,   - 3 e 2, as coordenadas da normal n → são n → = ( 1 ,   - 3 ,   2 ) .

Como o vetor diretor v → é normal ao plano, ele será igual ao vetor normal n → . Assim,

v → = ( 1 ,   - 3 ,   2 )

Passo 3

Temos que achar a equação reduzida na forma y = a x + b z = a ' x + b ' . Para isso, vamos aproveitar que temos o vetor diretor e o vetor normal para extrairmos a equação reduzida da paramétrica.

Assim, vamos primeiro achar uma equação da reta na forma

x = x 0 + x 1 t y = y 0 + y 1 t z = z 0 + z 1 t

Onde A = x 0 ,   y 0 ,   z 0 e v → = ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 )

Analisando as coordenadas do ponto A e do vetor diretor v → , temos:

x 0 = 2 y 0 = - 1 z 0 = 4 x 1 = 1 y 1 = - 3 z 1 = 2

Tomando esses pontos, a equação paramétrica da reta fica

r : x = 2 + t y = - 1 - 3 t z = 4 + 2 t

Passo 4

Para extrairmos a equação reduzida da paramétrica, vamos pegar as duas primeiras equações e fazer algumas operações para eliminarmos o parâmetro t .

Elas serão apresentadas como feitas nas equações E 1 para primeira equação e E 2 para a segunda equação.

x = 2 + t y = - 1 - 3 t       → 3 × E 1     3 x = 6 + 3 t y = - 1 - 3 t

3 x = 6 + 3 t y = - 1 - 3 t             → E 2 + E 1       y + 3 x = 5

Encontramos a primeira parte da equação reduzida isolando o y .

y = 5 - 3 x

Temos que achar a segunda.

Passo 5

Vamos repetir o mecanismo do Passo 4 só que com as equações

x = 2 + t z = 4 + 2 t

x = 2 + t z = 4 + 2 t       → - 2 × E 1     - 2 x = - 4 - 2 t z = 4 + 2 t

- 2 x = - 4 - 2 t z = 4 + 2 t     → E 2 + E 1     z - 2 x = 0

z = 2 x

Assim, encontramos as duas partes da equação reduzida. Juntando, temos:

y = a x + b z = a ' x + b '       →           y = 5 - 3 x z = 2 x

Com isso, encerramos a questão.

Resposta

y = 5 - 3 x z = 2 x

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