Enunciado

Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

  1. F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + y , z
  2. F ∈ L R 2 , R 3 definida por F x , y = x + y , x , x - y
  3. F ∈ L R 4 , R definida por F x , y , z , t = 2 x + y - z + 3 t
  4. F ∈ L R , R 3 definida por F x = x , 2 x , 3 x

Passo 1

Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação F B , C , saindo da base B = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 , 0,0 , 1,0 , 0,0 , 0,1 do R 4 para a base C = 1 do R .

O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.

Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar cada vetor de B e aplicar a transformação F . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de C , isto é:

F 1,0 , 0,0 = α 11 1

E o que iremos descobrir são os coeficientes α , os quais serão os elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base B ).

Passo 2

Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor 1,0 , 0 , 0 , temos:

F 1,0 , 0,0 = 2 = α 11

Portanto, temos α 11 = 2 . Assim, obtemos o primeiro elemento da nossa matriz. Vamos repetir agora para o segundo vetor da base B , 0,1 , 0,0 . Então:

F 0,1 , 0,0 = 1 = α 12 1 = α 12

Então, temos α 12 = 1 . Agora, para o vetor 0,0 , 1,0 , temos:

F 0 , 0 , 1 , 0 = - 1 = α 1 3 1 = α 1 3

Assim, obtemos α 13 = - 1 . Para finalizarmos, temos o vetor 0,0 , 0,1 . Então,

F 0,0 , 0 , 1 = 3 = α 1 4 1 = α 1 4

Finalizando então o cálculo dos coeficientes com α 14 = 4 .

Passo 3

Por fim, basta montarmos a nossa matriz F B , C . Como a base B tem quatro vetores, teremos uma matriz com 4 colunas. Já como a base C tem um vetor, teremos uma matriz com 1 linha.

Desta forma, a nossa matriz será:

F B , C = α 11 α 12 α 13 α 14

Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:

F B , C = 2 1 - 1 3

E esta é a nossa solução da questão!

Resposta

F B , C = 2 1 - 1 3

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