Enunciado

Determinar um polinômio de grau 3 em P 3 ( R ) que seja ortogonal a 1 , t , t 2 com relação ao produto interno definido no início deste capítulo como exemplo 2.

Passo 1

Vamos lá! O produto Interno é definido da forma

f t , g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t   d t

Beleza?!

Note que o polinômio

g t = 1 20 - 3 5 t + 3 2 t 2 - t 3

É um polinômio de grau 3 em P 3 ( R ) que é ortogonal a 1 , t , t 2 . Vamos verificar?

1 , g ( t ) = ∫ 0 1 1 1 20 - 3 5 t + 3 2 t 2 - t 3   d t = - t 4 4 + t 3 2 - 3 t 2 10 + t 20 0 1 = 0

Da mesma forma,

t , g ( t ) = ∫ 0 1 t . 1 20 - 3 5 t + 3 2 t 2 - t 3   d t = - t 5 5 + 3 t 4 8 - t 3 5 + t 2 4 0 0 1 = 0

Por fim,

t 2 , g ( t ) = ∫ 0 1 t 2 . 1 20 - 3 5 t + 3 2 t 2 - t 3   d t = - t 6 6 + 3 t 5 10 - 3 t 4 20 + t 3 6 0 0 1 = 0

Logo, o polinômio de grau 3

g t = 1 20 - 3 5 t + 3 2 t 2 - t 3

É ortogonal a 1 , t , t 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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