Enunciado

Consideremos as seguintes bases do R 2 : A = { 3 , - 1 ,   1 , - 2 } e B = 3 ,   2 ,   2 ,   2 .

a) Determinar a matriz-mudanção de base I B A .

b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A = ( 4 ,   3 ) .

c) Determinar a matriz-mudança de base de B para A .

Passo 1

O problema fornece duas bases do R 2 : A = { 3 , - 1 ,   1 , - 2 } e B = 3 ,   2 ,   2 ,   2 e pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre elas.

No item (a), devemos encontrar a matriz I B A que representa a mudança de A para B . Para isso, você deve lembrar que as colunas da matriz são os vetores da base A escritos na base B . Para isso, vamos proceder da seguinte forma:

3 ,   - 1 = a 3 , 2 + b 2 ,   2 = ( 3 a + 2 b ,   2 a + 2 b )

Assim,

3 a + 2 b = 3 2 a + 2 b = - 1

Da primeira equação, tiramos

a = 3 - 2 b 3

Substituindo na segunda:

6 - 4 b 3 + 2 b = - 1 ⇒ 6 - 4 b + 6 b = - 3 ⇒ 2 b = - 9 ⇒ b = - 9 2 ⇒ a = 4

Portanto,

3 ,   - 1 = 4 ,   - 9 2 B

Essa será a primeira coluna da matriz de transformação. Analogamente,

1 , - 2 = a 3,2 + b 2 ,   2

Desta forma,

3 a + 2 b = 1 2 a + 2 b = - 2

Da primeira equação obtemos a = 1 - 2 b 3 . Substituindo na segunda:

2 - 4 b 3 + 2 b = - 2 ⇒ 2 - 4 b + 6 b = - 6 ⇒ b = - 4 ⇒ a = 3

Assim,

1 , - 2 = 3 , - 4 B

Portanto, a matriz de mudança de base será

I B A = 4 3 - 9 2 - 4

Passo 2

No item (b) queremos escrever o vetor v A = 4 ,   3 A na base B . Para isso, basta aplicar a matriz de mudança de base:

4 3 - 9 2 - 4 ⋅ 4 3 = 25 - 30

Portanto,

v B = 25 ,   - 30 B

Passo 3

Por fim, no item (c) queremos a matriz de mudança de base de B para A . Para isso, basta inverter a matriz do item (a):

I A B = I B A - 1

Vamos fazer isso usando o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

4 3 - 9 2 - 4 - 1 = 1 - 16 + 27 2 - 4 - 3 9 2 4 = - 2 5 - 4 - 3 9 2 4 = 8 5 6 5 - 9 5 - 8 5

Portanto,

I A B = 8 5 6 5 - 9 5 - 8 5

Resposta

I B A = 4 3 - 9 2 - 4

v B = 25 ,   - 30 B

I A B = 8 5 6 5 - 9 5 - 8 5

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