Enunciado

Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ) , v 2 = ( 0 ,   1 ,   0 ,   1 ) e v 3 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ) .

Passo 1

A questão fornece um conjunto gerador para um subespaço vetorial e pede para construirmos uma base ortonormal para esse espaço. Ainda não sabemos se esse conjunto gerador é uma base ou não. Para isso, temos que verificar se esse conjunto é LI ou LD.

Observe que

v 3 = 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 + ( 0 ,   1 ,   0 ,   1 )

Portanto, temos

v 3 = v 1 + v 2

Isso siginifca que v 3 é combinação linear de v 1 e v 2 . Desta forma, o conjunto v 1 ,   v 2 , v 3 é LD. Como esse conjunto é LD, podemos eliminar um dos vetores para obter a base. Eliminando v 3 , obtemos o seguinte conjunto gerador:

A = v 1 ,   v 2 = { 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 }

Sempre que um vetor é combinação linear dos demais num conjunto gerador, você pode retirá-lo do conjunto sem problemas!

Como os vetores de A são LI, A é uma base para o subespaço, mas note que esse base não é ortonormal!

Passo 2

Como A não é uma base ortogonal, vamos procurar uma base B = { u 1 ,   u 2 } que seja! Para isso, vamos aplicar o processo de ortogonalização de Grand-Schimidt. O primeiro passo é escolher uma dos vetores da base A , vamos escolher v 1 e chama-lo de u 1 :

u 1 = v 1 = ( 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 )

Aplicando o processo de Garnd-Schimidt, o segundo vetor da base será:

u 2 = v 2 - p r o j u 1 v 2

Assim, usando a fórmula da projeção:

p r o j u 1 v 2 = u 1 ⋅ v 2 u 1 ⋅ u 1 u 1

Observe que

u 1 ⋅ v 2 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ⋅ 0 ,   1 ,   0 ,   1 = 1 + 0 - 1 + 1 = 1

u 1 ⋅ u 1 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 = 1 + 0 + 1 + 1 = 3

Por isso,

p r o j u 1 v 2 = 1 3 ( 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 )

Assim,

u 2 = 0 ,   1 ,   0 ,   1 - 1 3 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 = - 1 3 ,   1 , 1 3 , 2 3

Portanto,

B = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 3 ,   1 , 1 3 , 2 3

é uma base ortogonal! Note que

u 1 ⋅ u 2 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ⋅ - 1 3 ,   1 , 1 3 , 2 3 = - 1 3 + 0 - 1 3 + 2 3 = 0

Com isso, os vetores são de fato ortogonais!

Passo 3

Para que a base seja ortonormal, basta normalizar cada vetor de B :

( 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ) = 1 + 0 + 1 + 1 = 3

- 1 3 ,   1 , 1 3 , 2 3 = 1 9 + 1 + 1 9 + 4 9 = 15 3

Portanto, para achar os vetores normalizados, basta dividir pela norma:

1 3 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 = 1 3 ,   0 ,   - 1 3 , 1 3

3 15 - 1 3 ,   1 , 1 3 , 2 3 = - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Assim, uma base ortonormal de S será

C = 1 3 ,   0 ,   - 1 3 , 1 3 ,   - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Resposta

C = 1 3 ,   0 ,   - 1 3 , 1 3 ,   - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

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Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 x + y + z = 0 }
Seja V = R 3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços S 1 = x , y , z x - 2 y + 3 z = 0 } S 2 = t2 ,1 ,- 1 t ∈ R } determinar S 1 ⊥ e S 2 ⊥ .
Seja V = R 3 munido do produto interno usual e B = { 1 ,2 ,- 3 ,2 ,- 4 ,2 } . Determinar:a) O subespaço S gerado por B .b) O subespaço S ⊥ .
Seja S = x ,y ,z ,- 2 x + 4 y + 5 z x ,y ,z ∈ R } subespaço do R 4 com produto interno usual. Seja A = { 1 ,2 ,- 1 ,1 ,2 ,- 1 ,2 ,2 } ⊂ S .a) Ortonormalizar o conjunto A .b) Completar o conjunto A de
1. (a) Mostre que a matriz A = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25 é ortogonal de três maneiras: calculando A T A , usandoa parte b do Teorema 7.1.1 e usando a parte ( c ) do Teorema 7.1.1(