Enunciado

Seja S = x ,   y ,   z ,   - 2 x + 4 y + 5 z     x ,   y ,   z ∈ R } subespaço do R 4 com produto interno usual. Seja A = { 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   2 } ⊂ S .

a) Ortonormalizar o conjunto A .

b) Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S .

Passo 1

O problema fornece um subespaço vetorial S e uma conjunto A = { v 1 ,   v 2 } contindo em S . No item (a) devemos ortonormalizar o conjunto A . O primeiro passo para ortonormalizar um conjunto de vetores é verificar se eles são ortogonais. Para isso, tomamos o produto interno:

v 1 ⋅ v 2 = 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ⋅ 2 ,   - 1 ,   2 ,   2 = 2 - 2 - 2 + 2 = 0

Vemos que os vetores de A já são ortogonais! Assim, só precisamos normalizá-los. Para isso, calculamos suas normas:

u 1 = 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 = 1 + 4 + 1 + 1 = 7

u 2 = ( 2 ,   - 1 ,   2 ,   2 ) = 4 + 1 + 4 + 4 = 13

Assim, dividindo os vetores pelas normas:

1 7 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 = 1 7 , 2 7 ,   - 1 7 , 1 7

1 13 2 ,   - 1 ,   2 ,   2 = 2 13 ,   - 1 13 , 2 13 , 2 13

Portanto, o conjunto A ortonormalizado pode ser escrito como:

A ' = 1 7 , 2 7 ,   - 1 7 , 1 7 ,   2 13 ,   - 1 13 , 2 13 , 2 13

Nesse problema, agradeça que os vetores de A já eram ortogonais e não precisamos aplicar o método de Grand-Schimidt!

Passo 2

Já no item (b), devemos completar o conjunto A de modo a obter uma base ortogonal para o subespaço S . Para isso, primeiro vamos encontrar uma base de S . Um vetor genérico de S pode ser escrito como:

x ,   y ,   z ,   - 2 x + 4 y + 5 z = x   1 ,   0 ,   0 ,   - 2 + y   0 ,   1 ,   0 ,   4 + z   ( 0 ,   0 ,   1 ,   5 )

Vamos denotar w 1 = 1 ,   0 ,   0 ,   - 2 , w 2 = 0 ,   1 ,   0 ,   4 e w 3 = ( 0 ,   0 ,   1 ,   5 ) . Um vetor genérico de S é combinação linear de w 1 ,   w 2 ,   w 3 . Portanto, esse conjunto forma uma base para S .

Sabemos também que v 1 e v 2 são combinações lineares de w 1 , w 2 e w 3 . O que queremos é achar v 3 tal que B = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } seja uma base ortogonal de S .

Como v 3 deve pertencer a S , ele deve ser combinação linear de w 1 , w 2 e w 3 , de modo que

v 3 = a w 1 + b w 2 + c w 3

Assim,

v 3 = a   1 ,   0 ,   0 ,   - 2 + b   0 ,   1 ,   0 ,   4 + c   ( 0 ,   0 ,   1 ,   5 )

Ou ainda,

v 3 = a ,   b ,   c ,   - 2 a + 4 b + 5 c

Passo 3

Além disso, como B deve ser ortogonal, v 3 deve ser ortogonal a v 1 :

v 3 ⋅ v 1 = 0 ⇒ a ,   b ,   c ,   - 2 a + 4 b + 5 c ⋅ 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 = 0 ⇒ a + 2 b - c - 2 a + 4 b + 5 c = 0

Portanto,

- a + 6 b + 4 c = 0

Analogamente, v 3 deve ser ortogonal a v 2 :

v 3 ⋅ v 2 = 0 ⇒ a ,   b ,   c ,   - 2 a + 4 b + 5 c ⋅ 2 ,   - 1 ,   2 ,   2 = 0 ⇒ - 2 a + 7 b + 12 c = 0

Temos então

- a + 6 b + 4 c = 0 - 2 a + 7 b + 12 c = 0

OBS: repare que não usei os vetores v 1 e v 2 normalizados pois o problema pede apenas uma base ortogonal, não ortonormal 😊

Esse sistema tem infinitas soluções. Para os nossos propósitos, podemos usar qualquer uma dessas soluções. Tomando b = 4 , achamos

- a + 4 c = - 24 - 2 a + 12 c = - 28

Resolvendo esse sistema, achamos

a = 44           e           c = 5

Portanto,

v 3 = 44 ,   4 ,   5 ,   - 2 ⋅ 44 + 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 5 = 44 ,   4 ,   5 ,   - 47

Assim, a base B = v 1 ,   v 2 ,   v 3 será

B = 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   2 ,   44 ,   4 ,   5 ,   - 47

Resposta

A ' = 1 7 , 2 7 ,   - 1 7 , 1 7 ,   2 13 ,   - 1 13 , 2 13 , 2 13

B = 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   2 ,   44 ,   4 ,   5 ,   - 47

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