Enunciado

  1. u →   =   ( 2,1 , - 3 ) e v →   =   ( 1,2 , 1 ) . Se w →   =   u   →   +   λ v →   , determine   λ para que   u   → e w → sejam ortogonais.
  2. Determine o coseno do ângulo que   u   → forma com v →   .

Passo 1

Fala, galerinha! Espero que estejam animados para mais uma questão. Para descobrirmos se dois vetores são ortogonais, basta tomarmos o produto escalar entre eles e igualar a zero. Então, o item a) fica da seguinte forma:

u →   ⋅ w →   = 0   ⇒ u →   ⋅ (   u   →   +   λ v →   ) = 0   ⇒   u → ⋅ u →   +   λ u → ⋅ v →   =   0   .

Substituindo os valores,

  | u → |   2 +   λ u → ⋅ v →   =   ( 4   +   1   + 9 )   +   λ (   2 ⋅ 1   +   1 ⋅ 2   +   ( - 3 ) ⋅ 1 )   =   0   ⇒   14     +   λ   =   0

  ⇒ λ   = - 14 .

Passo 2

Para o item b), precisamos apenas substituir os valores em c o s   α   =   u →   ⋅ v → | u → | | v → | . Então, vamos lá

c o s   α   =   ( 2,1 , - 3 )   ⋅ ( 1,2 , 1 ) 4 + 1 + 9   1   +   4 + 1 =   2.1   +   1.2   +   ( - 3 )   ⋅ 1 14   6   ⇒ c o s   α   =   1 84   .

Resposta

  1.   λ   = - 14 ;
  2. c o s   α   =   1 84   .

Exercícios de Livros Relacionados

Os vetores não-nulos u → e v → são ortogonais, têm normas iguais, e w → é gerado por eles. Sabendo que w → ⋅ u → = w → ⋅ v → e que w → não é nulo, obtenha as medidas angulares entre u → e w → e entre
Seja A B C D E F um hexágono regular de centro O , como o da Figura 2-10. Obtenha as seguintes medidas angulares em graus:a) a n gA C → ,D E → b) a n gA C → + A E → ,B F → c) a n gA O → + C E → ,C F →
Determine u → ortogonal a ( - 3 ,0 ,1 ) tal que u → ⋅ 1 ,4 ,5 = 24 e u → ⋅ - 1 ,1 ,0 = 1 .
Obtenha um vetor u → ortogonal a v → = ( 4 ,- 1 ,5 ) e w → = ( 1 ,- 2 ,3 ) tal que u → ⋅ 1 ,1 ,1 = - 1 .
Decomponha u → = ( 1 ,0 ,3 ) como soma dos vetores v → e w → tais que v → , ( 1 ,1 ,1 ) e ( - 1 ,1 ,2 ) sejam LD e w → seja ortogonal aos dois últimos.