Enunciado

Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os pares de números reais da forma ( x ,   0 ) com as operações padrão de R 2 .

Passo 1

Vamos lá sendo u = u 1 + u 2 e v = ( v 1 ,   v 2 ) .

Axioma 1: se u e v são objetos de V então a soma u + v deve ser objeto de V , isso nós chamamos que V é fechado para a soma e provamos isso na letra passada.

Axioma 2: Comutatividade.

Axioma 3: Associatividade

Axioma 4: Soma com vetor nulo deve ser o próprio vetor.

Axioma 5: u + - u = 0

Axioma 6: Se k é um escalar está contido no conjunto dos reais então k ⋅ u está contido nos reais o que é verdade pois não podemos transacionar entre conjuntos se fizermos o produto de dois elementos contidos no mesmo conjunto.

Axioma 7:

Axioma 8:

Axioma 9:

Axioma 10:

Como todos os axiomas foram provados V é espaço vetorial.

Ufa, finalmente terminamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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