Enunciado

Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π , nos casos:

a) P = ( 1 ,   0 ,   1 ) π : x - 2 y + 4 z = 1

b) P = ( 4 ,   0 ,   1 ) π : 3 x - 4 y + 2 = 0

Passo 1

Queremos encontrar a projeção Q = ( x ,   y ,   z ) de P sobre o plano π . Para isso, vamos precisar que o vetor   P Q → seja paralelo ao vetor normal n → do plano.

No item (a), temos que

n → = ( 1 ,   - 2 ,   4 )

Já o vetor   P Q → :

P Q → = Q - P = ( x - 1 ,   y ,   z - 1 )

Da equação do plano, tiramos que

x - 1 = 2 y - 4 z

Assim,

P Q → = ( 2 y - 4 z ,   y ,   z - 1 )

Como n → deve ser paralelo a   P Q → :

P Q → = λ n → ⇒ 2 y - 4 z ,   y ,   z - 1 = λ   ( 1 ,   - 2 ,   4 )

Assim,

2 y - 4 z = λ y = - 2 λ z - 1 = 4 λ

Portanto,

y = - 2 λ           e           z = 1 + 4 λ

Substituindo na primeira equação:

- 4 λ - 4 - 16 λ = λ ⇒ 21 λ = - 4 ⇒ λ = - 4 21

Logo,

y = 8 21

z = 1 - 16 21 = 5 21

x = 1 + 2 y - 4 z = 1 + 16 21 - 20 21 = 17 21

Portanto,

Q = 17 21 , 8 21 , 5 21

Passo 2

No item (b), temos

n → = ( 3 ,   - 4 ,   0 )

Além disso,

P Q → = ( x - 4 ,   y ,   z - 1 )

Temos também que

y = 3 x + 2 4 ⇒ P Q → = x - 4 ,   3 x + 2 4 , z - 1 = 1 4   4 x - 16 ,   3 x + 2 ,   4 z - 4

Assim, devemos ter

4 x - 16 ,   3 x + 2 ,   4 z - 4 = λ   ( 3 ,   - 4 ,   0 )

Da terceira coordenada, obtemos direto que

4 z - 4 = 0 ⇒ z = 1

Assim,

4 x - 16 = 3 λ 3 x + 2 = - 4 λ ⇒ 16 x - 64 = 12 λ 9 x + 6 = - 12 λ

Somando as equações,

25 x - 58 = 0 ⇒ x = 58 25

Assim,

4 y = 3 ⋅ 58 25 + 2 = 174 + 50 25 = 224 25 ⇒ y = 56 25

Portanto,

Q = 58 25 , 56 25 , 1

Resposta

Q = 17 21 , 8 21 , 5 21

Q = 58 25 , 56 25 , 1

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