Enunciado

Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s , paralela ao plano π , e perpendicular à reta A B . São dados: π : 2 x - y + 3 z - 1 = 0 , A = ( 1 ,   0 ,   1 ) , B = ( 0 ,   1 ,   2 ) , s : X = 4 ,   5 ,   0 + λ ( 3 ,   6 ,   1 ) .

Passo 1

Queremos escrever as equação vetorial da reta r que satisfaz várias condições. Vamos procurar primeiro o seu vetor diretor

u → = ( a ,   b ,   c )

Como a reta é paralela ao plano π : 2 x - y + 3 z - 1 = 0 , u → deve ser ortogonal ao vetor normal do plano n → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) :

u → ⋅ n → = 0 ⇒ a ,   b ,   c ⋅ 2 ,   - 1 ,   3 = 0 ⇒ 2 a - b + 3 c = 0 ⇒ b = 2 a + 3 c

Assim,

u → = a ,   2 a + 3 c ,   c

Passo 2

Além disso, a reta r deve ser perpendicular à reta A B , de modo que

u → ⋅ A B → = 0 ⇒ a ,   2 a + 3 c ,   c ⋅ - 1 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ - a + 2 a + 3 c + c = 0 ⇒ a = - 4 c

Portanto,

u → = - 4 c ,   - 8 c + 3 c ,   c = c ( - 4 ,   - 5 ,   1 )

Como só estamos interessados na direção, vamos adotar

u → = ( 4 ,   5 ,   - 1 )

Assim, a equação vetorial da reta r é

X = P + λ   ( 4 ,   5 ,   - 1 )

Passo 3

O que falta agora é achar um ponto P = ( x ,   y ,   z ) . Mas antes disso, vamos escrever a equação vetorial da reta A B :

X = 1 ,   0 ,   1 + λ   - 1 ,   1 ,   1 = ( 1 - λ ,   λ ,   1 + λ )

Já para a reta s :

X = 4 + 3 λ ,   5 + 6 λ ,   λ

E para a reta r :

X = ( x + 4 λ ,   y + 5 λ ,   z - λ )

Como r e A B são concorrentes, deve haver um ponto de encontro entre elas, de modo que

1 - λ 1 ,   λ 1 ,   1 + λ 1 = ( x + 4 λ 2 ,   y + 5 λ 2 ,   z - λ 2 ) ⇒ 1 - λ 1 = x + 4 λ 2 λ 1 = y + 5 λ 2 1 + λ 1 = z - λ 2

Vamos brincar um pouco com essas equações! Substituindo a segunda equação na primeira e na terceira:

1 - y - 5 λ 2 = x + 4 λ 2 1 + y + 5 λ 2 = z - λ 2 ⇒ x + y = 1 - 9 λ 2 z - y = 1 + 6 λ 2

Para eliminar λ 2 , multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 :

2 x + 2 y = 2 - 18 λ 2 3 z - 3 y = 3 + 18 λ 2

Somando as equações, temos que

2 x - y + 3 z = 5

Vamos guardar essa equação.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo só que entre as retas r e s :

4 + 3 λ 3 ,   5 + 6 λ 3 ,   λ 3 = ( x + 4 λ 4 ,   y + 5 λ 4 ,   z - λ 4 ) ⇒ 4 + 3 λ 3 = x + 4 λ 4 5 + 6 λ 3 = y + 5 λ 4 λ 3 = z - λ 4

Substituindo a terceira equação nas duas primeiras:

4 + 3 z - 3 λ 4 = x + 4 λ 4 5 + 6 z - 6 λ 4 = y + 5 λ 4 ⇒ x - 3 z = 4 - 7 λ 4 6 z - y = - 5 + 11 λ 4

Multiplicando a primeira equação por 11 e a segunda por 7 :

11 x - 33 z = 44 - 77 λ 4 42 z - 7 y = - 35 + 77 λ 4

Somando as equações,

11 x - 7 y + 9 z = 9

Desta forma, vemos que o ponto P deve satisfazer o sistema

2 x - y + 3 z = 5 11 x - 7 y + 9 z = 9

Esse sistema representa uma reta de pontos, precisamos de apenas um! Por simplicidade, vamos escolher x = 0 :

y - 3 z = - 5 - 7 y + 9 z = 9

Multiplicando a primeira equação por 7 e somando com a segunda:

7 y - 21 z - 7 y + 9 z = - 35 + 9 ⇒ - 12 z = - 26 ⇒ z = 26 12 = 13 6

Assim,

y = - 5 + 3 ⋅ 13 6 = - 30 + 39 6 = 9 6 = 3 2

Portanto, um possível ponto é

P = 0 , 3 2 , 13 6

Com ele, a equação da reta r fica

X = 0 , 3 2 , 13 6 + λ   ( 4 ,   5 ,   - 1 )

A respostas do livro também é válida e o ponto P = - 2 9 , 11 9 , 20 9 usado nele também satisfaz o sistema que encontramos!

Resposta

X = 0 , 3 2 , 13 6 + λ   ( 4 ,   5 ,   - 1 )

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Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:a) x = 1 + λ - μ y = 2 λ + μ z = 3 - μ
Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:d) x = λ - 3 μ y = λ + 2 μ z = 3 λ - μ
x+y - z+4 = 0 ⎨ x+ 2 y-4 z+ 9=0 são as equações de dois planos. Explique porque os planos não são paralelos e escreva, na forma paramétrica, equações da reta interseção desses planos.
Dê um ponto e um vetor diretor da reta relativa da reta r , interseção dos planos 2 x+2 y - z+4 = 0 ⎨ x- 2 y-2 z- 1=0 .A reta r tem um ponto de ordenada 3( y = 3 ) ? Qual?
a) Mostre que os planos x - y = 0 e y - z = 1 se interceptam segundo uma reta r .